Question

【題目】如圖1，在△ABC中，AB=AC=10，BC=16，點(diǎn)D為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合)．以D為頂點(diǎn)作∠ADE=∠B，射線DE交AC邊于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作AF⊥AD交射線DE于點(diǎn)F，連接CF．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）當(dāng)DE∥AB時(shí)(如圖2)，求AE的長；

（3）點(diǎn)D在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)位置，使得DF=CF？若存在，求出此時(shí)BD的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）存在，BD=9

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可；

（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)平行線分線段成比例定理列式求出；

（3）作于，于，于．根據(jù)勾股定理求出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．

解：（1）證明：，

，

，，

，又，

．

（2）解：，

，

，

，

，即，

解得，，

，

，即，

解得，；

（3）點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，存在某個(gè)位置，使得．

理由如下：如圖3，作于，于，于．

則四邊形為矩形，

，，

，，

，

在中，由勾股定理，得，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，即，

解得，，

，

，

，，

，

．