Question

如圖，以△ABC的兩邊AB、AC向外作等邊三角形ABE和等邊三角形ACD，連接BD、CE，相交于O．
（1）試寫出圖中和BD相等的一條線段并說明你的理由；
（2）求出BD和CE的夾角大小，若改變△ABC的形狀，這個夾角的度數會發(fā)生變化嗎？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）EC=BD，理由為：由△ABE和△ACD都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，利用等式的性質得到∠EAC=∠BAD，利用SAS可得出△AEC≌△ABD，利用全等三角形的對應邊相等即可得證；
（2）BD和CE的夾角大小為60°，若改變△ABC的形狀，這個夾角的度數不變，理由為：由三角形ADC為等邊三角形，得到∠ADC=∠ACD=60°，再由（1）得到△AEC≌△ABD，利用全等三角形的對應角相等得到∠ACE=∠ADB，由∠EOD為三角形OCD的外角，利用三角形的外角性質及等量代換可得出∠EOD=∠ADC+∠ACD，可求出∠EOD的度數，利用鄰補角定義求出∠DOC的度數，即為BD與CE的夾角．

解答：解：（1）EC=BD，理由為：
∵△ABE和△ACD都為等邊三角形，
∴∠EAB=∠DAC=60°，AE=AB，AD=AC，
∴∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△AEC和△ABD中，

AE=AB ∠EAC=∠BAD AC=AD

，
∴△AEC≌△ABD（SAS），
∴EC=BD；

（2）BD和CE的夾角大小為60°，若改變△ABC的形狀，這個夾角的度數不變，理由為：
∵△ADC為等邊三角形，
∴∠ADC=∠ACD=60°，
∵△AEC≌△ABD，
∴∠ACE=∠ADB，
∵∠EOD為△COD的外角，
∴∠EOD=∠ODC+∠OCD=∠ODC+∠ACD+∠ACE=∠ODC+∠ADB+∠ACD=∠ADC+∠ACD=120°，即∠DOC=60°，
則BD和CE的夾角大小為60°．

點評：此題考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的外角性質，利用了等量代換及轉化的思想，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．