Question

已知：如圖，以△ABC的頂點A為圓心，r為半徑的圓與邊BC交于D、E兩點，且AC²=CE•CB．
（1）求證：r²=BD•CE；
（2）設(shè)以BD、CE為兩直角邊的直角三角形的外接圓的面積為S，若BD、CE的長是關(guān)于x的方程x²-mx+3m-5=0的兩個實數(shù)根，求S=

π

2

時的r的值．

Answer 1

分析：連接AD，AE，（1）根據(jù)已知條件可以推出△ACE∽△BCA，得∠EAC=∠B，既而推出△AEC∽△BDA，即可推出結(jié)論，（2）根題意，S=（

BD2+CE2

2

）²•π=

π

2

，因為BD•CE=3m-5，BD+CE=m，代入方程，解方程得m的值，既而求r的值．

解答：（1）證明：如圖，連接AD，AE，
∵AC²=CE•CB．
∴△ACE∽△BCA，
∴∠EAC=∠B，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=AEC，
∴△AEC∽△BDA，
∴AD•AE=BD•CE，
∴r²=BD•CE，

（2）解：∵以BD、CE為兩直角邊的直角三角形的外接圓的面積為S，
∴S=（

BD2+CE2

2

）²•π，
∵S=

π

2

，
∴（

BD2+CE2

2

）²•π=

π

2

，即BD²+CE²=2，
∵BD、CE的長是關(guān)于x的方程x²-mx+3m-5=0的兩個實數(shù)根，
∴BD•CE=3m-5，BD+CE=m，
∴BD²+CE²=（BD+CE）²-2BD•CE=m²-2（3m-5）=2，
整理得：m²-6m+8=0，解得：m=2，m=4，
當(dāng)m=4時，原方程則無解，應(yīng)舍去．
m=2．
∴BD•CE=1
∵r²=BD•CE，
∴r=1．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓與外心的性質(zhì)、解一元二次方程、根與系數(shù)的關(guān)系等性質(zhì)定理的綜合運用，解題的關(guān)鍵在于找到形似三角形，求出以BD、CE為兩直角邊的直角三角形的外接圓的半徑的表達式．