Question

如圖，在菱形ABCD中，P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），連接DP交對(duì)角線AC于E連接BE．
（1）證明：∠APD=∠CBE；
（2）若∠DAB=60°，試問(wèn)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADP的面積等于菱形ABCD面積的

1

4

，為什么？

Answer 1

分析：（1）可先證△BCE≌△DCE得到∠EBC=∠EDC，再根據(jù)AB∥DC即可得到結(jié)論．
（2）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB邊的中點(diǎn)時(shí)，S_△ADP=

1

4

S_菱形ABCD，證明S_△ADP=

1

2

×

1

2

AB•DP=

1

4

S_菱形ABCD即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形
∴BC=CD，AC平分∠BCD（2分）
∵CE=CE
∴△BCE≌△DCE（4分）
∴∠EBC=∠EDC
又∵AB∥DC
∴∠APD=∠CDP（5分）
∴∠EBC=∠APD（6分）

（2）解：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB邊的中點(diǎn)時(shí)，S_△ADP=

1

4

S_菱形ABCD．（8分）
理由：連接DB
∵∠DAB=60°，AD=AB
∴△ABD等邊三角形（9分）
∵P是AB邊的中點(diǎn)
∴DP⊥AB（10分）
∴S_△ADP=

1

2

AP•DP，S_菱形ABCD=AB•DP（11分）
∵AP=

1

2

AB
∴S_△ADP=

1

2

×

1

2

AB•DP=

1

4

S_菱形ABCD
即△ADP的面積等于菱形ABCD面積的

1

4

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定，判斷當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AB邊的中點(diǎn)時(shí)，S_△ADP=

1

4

S_菱形ABCD是難點(diǎn)．