Question

【題目】已知拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸相交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)），與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式和，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如圖1，若點(diǎn)是拋物線上、兩點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積最大？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)是拋物線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）存在點(diǎn)，使四邊形的面積最大；點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形面積的最大值為32；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或．

【解析】

（1）由拋物線的對(duì)稱軸是直線 x＝3，解出 a的值，即可求得拋物線解析式，在

令其 y值為零，解一元二次方程即可求出 A和 B的坐標(biāo)；

（2）易求點(diǎn) C的坐標(biāo)為（0，4），設(shè)直線 BC的解析式為 y＝kx+b（k≠0），將 B（8，0），

C（0，4）代入 y＝kx+b，解出 k和 b的值，即得直線 BC的解析式；設(shè)點(diǎn) P的坐標(biāo)為 ，過(guò)點(diǎn) P作 PD∥y軸，交直線 BC于點(diǎn) D，則點(diǎn) D的坐標(biāo)為 ， 利用關(guān)系式 S四邊形 PBOC＝S△BOC+S△PBC得出關(guān)于 x的二次函數(shù)，從而求得其最值；

（3）設(shè)點(diǎn) M的坐標(biāo)為 則點(diǎn) N的坐標(biāo)為 ， ，分當(dāng) 0＜m＜8時(shí)，或當(dāng) m＜0或 m＞ 8時(shí)來(lái)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，從而求解．

（1）拋物線的對(duì)稱軸是直線，

，解得，

拋物線的解析式為：．

當(dāng)時(shí)，，解得，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

答：拋物線的解析式為：；點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

（2）當(dāng)時(shí)，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為．

設(shè)直線的解析式為，將，代入得

，解得，

直線的解析式為．

假設(shè)存在點(diǎn)，使四邊形的面積最大，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則，

當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，最大值是32

，

存在點(diǎn)，使得四邊形的面積最大．

答：存在點(diǎn)，使四邊形的面積最大；點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形面積的最大值為32．

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

又，

，

當(dāng)時(shí)，，解得，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

當(dāng)或時(shí)，，解得，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

答：點(diǎn)的坐標(biāo)為、、或．