Question

已知△ABC中，∠ABC=90゜，AB=BC，點A、B分別是x軸和y軸上的一動點．
（1）如圖1，若點C的橫坐標為-4，求點B的坐標；
（2）如圖2，BC交x軸于D，AD平分∠BAC，若點C的縱坐標為3，A（5，0），求點D的坐標．
（3）如圖3，分別以OB、AB為直角邊在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y軸于M，求 S_△BEM：S_△ABO．

Answer 1

分析：（1）作CM⊥y軸于M，則CM=4，求出∠ABC=∠AOB=90゜，∠CBM=∠BAO，證△BCM≌△ABO，求出OB=CM=4即可．
（2）作CM⊥x軸于M，交AB的延長線于N，得出∠AMC=∠AMN=90°，∠CAM=∠NAM，證△AMC≌△AMN，推出CM=MN=3，CN=6，證△CBN≌△ABD，求出AD=CN=6，即可得出答案；
（3）作EN⊥y軸于N，求出∠NBE=∠BAO，證△ABO≌△BEN，推出△ABO的面積=△BEN的面積，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，證△BFM≌△NEM，推出BM=NM，根據三角形面積公式得出S_△BEN=S_△BEM=

1

2

S_△BEN=

1

2

S_△ABO，即可得出答案．

解答：解：
（1）如圖1，作CM⊥y軸于M，則CM=4，
∵∠ABC=∠AOB=90゜，
∴∠CBM+∠ABO=90°，∠ABO+∠OAB=90°，
∴∠CBM=∠BAO，
在△BCM和△ABO中

∠BMC=∠AOB ∠CBM=∠BAO BC=AB

∴△BCM≌△ABO（AAS），
∴OB=CM=4，
∴B（0，-4）．

（2）如圖2，作CM⊥x軸于M，交AB的延長線于N，
則∠AMC=∠AMN=90°，
∵點C的縱坐標為3，
∴CM=3，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAM=∠NAM，
∴在△CAM和△NAM中

∠CAM=∠NAM AM=AM ∠AMC=∠AMN

∴△AMC≌△AMN（ASA），
∴CM=MN=3，
∴CN=6，
∵CM⊥AD，∠CBA=90°，
∴∠CBN=∠CMD=∠ABD=90°，
∵∠CDM=∠BDA，∠CMD+∠CDM+∠NCB=180°，∠BDA+∠BAD+∠DBA=180°，
∴∠NCB=∠BAD，
在△CBN和△ABD中

∠NCB=∠BAD BC=AB ∠CBN=∠ABD

∴△CBN≌△ABD（ASA），
∴AD=CN=2CM=6，
∵A（5，0），
∴D（-1，0）．

（3）如圖3，作EN⊥y軸于N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，
∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，
∴∠NBE=∠BAO，
在△ABO和△BEN中

∠AOB=∠BNE ∠BAO=∠NBE AB=BE

∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴△ABO的面積=△BEN的面積，OB=NE=BF，
∵∠OBF=∠FBM=∠BNE=90°，
∴在△BFM和△NEM中

∠FMB=∠EMN ∠FBM=∠ENM BF=NE

∴△BFM≌△NEM（AAS），
∴BM=NM，
∵△BME邊BM上的高和△NME的邊MN上的高相等，
∴S_△MEN=S_△BEM=

1

2

S_△BEN=

1

2

S_△ABO，
即S_△BEM：S_△ABO=1：2．

點評：本題考查了三角形內角和定理，全等三角形的性質和判定，坐標與圖形性質等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，有一定的難度．