Question

如圖．已知A、B兩點的坐標分別為A（0，2

3

），B（2，0）．直線AB與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于點C和點D（-1，a）．
（1）求直線AB和反比例函數(shù)的解析式．
（2）求∠ACO的度數(shù)．
（3）將△OBC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角（α為銳角），得到△OB′C′，當α為多少時，OC′⊥AB，并求此時線段AB’的長．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，把A（0，2

3

），B（2，0）分別代入，得到a，b方程組，解出a，b，得到直線AB的解析式；把D點坐標代入直線AB的解析式，確定D點坐標，再代入反比例函數(shù)解析式確定m的值；
（2）由y=-

3

x+2

3

和y=-

3 3

x

聯(lián)立解方程組求出C點坐標（3，-

3

），利用勾股定理計算出OC的長，得到OA=OC；在Rt△OAB中，利用勾股定理計算AB，得到∠OAB=30°，從而得到∠ACO的度數(shù)；
（3）由∠ACO=30°，要OC′⊥AB，則∠COC′=90°-30°=60°，即α=60°，得到∠BOB′=60°，而∠OBA=60°，得到△OBB′為等邊三角形，于是有B′在AB上，BB′=2，即可求出AB′．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的解析式為：y=kx+b，
把A（0，2

3

），B（2，0）分別代入，得

b=2 3 2k+b=0

，解得k=-

3

，b=2

3

∴直線AB的解析式為：y=-

3

x+2

3

；
∵點D（-1，a）在直線AB上，
∴a=

3

+2

3

=3

3

，即D點坐標為（-1，3

3

），
又∵D點（-1，3

3

）在反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象上，
∴m=-1×3

3

=-3

3

，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=-

3 3

x

；

（2）過C點作CE⊥x軸于E，如圖，
根據(jù)題意得

y=- 3 x+2 3 y= - 3 3 x

，解得

x=-1 y=3 3

或

x=3 y=- 3

，
∴C點坐標為（3，-

3

），
∴OE=3，CE=

3

，
∴OC=

32+( 3 )2

=2

3

，
而OA=2

3

，
∴OA=OC，
又∵OB=2，
∴AB=

(2 3 )2+22

=4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°；

（3）∵∠ACO=30°，
而要OC′⊥AB，
∴∠COC′=90°-30°=60°，
即△OBC繞點O逆時針方向旋轉(zhuǎn)α角（α為銳角），得到△OB′C′，當α為60°時，OC′⊥AB；如圖，
∴∠BOB′=60°，
∴點B'在AB上，
而∠OBA=60°，
∴BB′=2，
∴AB′=4-2=2．

點評：本題考查了利用待定系數(shù)法求圖象的解析式．也考查了點在函數(shù)圖象上，點的橫縱坐標滿足函數(shù)圖象的解析式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．