Question

如圖，P是射線y=

3

5

x上的一動點(diǎn)，以P為圓心的⊙P與y軸相切于C點(diǎn)，與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若⊙P的半徑為5，求點(diǎn)P、A的坐標(biāo)；
（2）在（1）的條件下，求以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，且經(jīng)過A點(diǎn)的拋物線的解析式；并判定該拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)D，說明理由．

Answer 1

分析：（1）連接PA．作PD⊥AB于點(diǎn)E．根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得圓的半徑是5，在直角△PAE中，根據(jù)勾股定理即可求得AE的長，即可確定A的坐標(biāo)；
（2）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，把D的坐標(biāo)代入，即可判斷是否在拋物線上．

解答：解：（1）連接PA．作PE⊥AB于點(diǎn)E．
P為圓心的⊙P與y軸相切于C點(diǎn)，⊙P的半徑為5．
則P的橫坐標(biāo)是5．
把x=5代入y=

3

5

x得：x=3，
則P的坐標(biāo)是（5，3）
在直角△PAE中，PA=5，PD=3
∴AE=

PA2-PD2

=4
∴OA=OE-AE=5-4=1
則A的坐標(biāo)是（1，0）；

（2）設(shè)拋物線的解析式是：y=a（x-5）²+3；
把A（1，0）代入得：16a+3=0
解得：a=-

3

16

故拋物線的解析式是：y=-

3

16

（x-5）²+3．
C的坐標(biāo)是（0，3），則C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)D是（0，-3）．
把D坐標(biāo)代入拋物線的解析式，不成立，故D不在拋物線上．

點(diǎn)評：本題主要考查了垂徑定理，以及切線的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，是一個(gè)圓與拋物線相結(jié)合的綜合題．