Question

如圖，P是射線y=

3

5

x（x＞0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心的圓與y軸相切于點(diǎn)C，與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若⊙P的半徑為5，求A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)？
（2）求以P為頂點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式？
（3）在（2）的條件下，上述拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)D？請(qǐng)說明理由．
（4）試問：是否存在這樣的直線l，當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)都在直線l上？若存在，請(qǐng)求出直線l所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)射線的斜率先求出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo)，再求出圓P的方程，令y=0即可求出A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）²+3，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式；
（3）先求出D點(diǎn)坐標(biāo)，再將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可驗(yàn)證點(diǎn)D不在拋物線上；
（4）可先根據(jù)直線OP的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)仿照（1）的方法求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)這個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出所求的直線解析式．

解答：解：（1）由題意可知

OC

PC

=

3

5

，已知PC=5，
解得OC=3=y_P，則x_P=5，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為P（5，3），C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3），
圓P的方程為（x-5）²+（y-3）²=25，
令y=0，解得x=1或x=9，
由圖象可知A、B點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），B（9，0），
故A（1，0），P（5，3）；

（2）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-5）²+3，
將A點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，0），代入y=a（x-5）²+3，
解得a=-

3

16

，
故拋物線的解析式為y=-

3

16

（x-5）²+3，

（3）因?yàn)镈與C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故D點(diǎn)坐標(biāo)為D（0，-3），
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-

3

16

（x-5）²+3，
即-3≠-

3

16

（0-5）²+3=-

27

16

，
故點(diǎn)D不在拋物線上；

（4）設(shè)P（m，n），m＞0，則n=

3

5

m，
過點(diǎn)P作PQ⊥AB，垂足為Q，則AQ=BQ，
∵PA=PC=m，PQ=

3

5

m，
∴AQ=

4

5

m，
∴A（

1

5

m，0），B（

9

5

m，0），C（0，

3

5

m），
設(shè)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a（x-

1

5

m）（x-

9

5

m），
將C（0，

3m

5

）代入解析式，
得a=

5

3m

，
∴y=

5

3m

（x-

1

5

m）（x-

9

5

m）
=

5

3m

（x²-2mx+

9

25

m²）
=

5

3m

[（x-m）²-

16

25

m²]
∴y=

5

3m

（x-m）²-

16

15

m
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-

16

15

m）
∴存在直線l：y=-

16

15

x，
當(dāng)P在射線y=

3

5

x上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)都在直線上．存在直線l：y=-

16

15

x．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的公式的求法和圓的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練，屬于中檔題．