Question

2．如圖，△ABC中，AB=AC，AE是外角∠CAD的平分線，點(diǎn)F在AC上，連結(jié)BF并延長(zhǎng)與AE交于點(diǎn)E．  
（1）求證：△AEF∽△CBF．
（2）若AB=6，AF=2，BF=5，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DAC=2∠DAE，再由AB=AC可得∠B=∠ACB，然后根據(jù)內(nèi)角與外角的關(guān)系可得∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，進(jìn)而可證明∠DAE=∠B，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行可得AE∥BC，根據(jù)相似三角形的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得到比例式，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AE是∠CAD的平分線，
∴∠DAC=2∠DAE，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
又∵∠DAC=∠B+∠ACB=2∠B，
∴∠DAE=∠B，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF；

（2）∵AB=6，
∴AC=AB=6，
∵AF=2，
∴CF=4，
∵△AEF∽△CBF，
∴$\frac{AF}{CF}=\frac{EF}{BF}$，
即$\frac{2}{4}=\frac{EF}{5}$，
∴EF=$\frac{5}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．