Question

如圖，⊙O和⊙O′都經過點A、B，點P在BA延長線上，過P作⊙O的割線PCD交⊙O于C、D兩點，作⊙O′的切線PE切⊙O′于點E．若PC=4，CD=8，⊙O的半徑為5．
（1）求PE的長；
（2）求△COD的面積．

Answer 1

解：（1）∵PD、PB分別交⊙O于C、D和A、B；
根據割線定理得PA•PB=PC•PD．
又∵PE為⊙O′的切線，PAB為⊙O′的割線；
根據切割線定理得PE²=PA•PB．
即PE²=PC•PD=4×（4+8）=48；
∴PE=4．

（2）在⊙O中過O點作OF⊥CD，垂足為F；
根據垂徑定理知OF平分弦CD，即CF=CD=4；
在Rt△OFC中，OF²=OC²-CF²=5²-4²=9；
∴OF=3；
∴S_△COD=CD•OF=×8×3=12個面積單位．
分析：（1）在⊙O中，根據割線定理，得PC•PD=PA•PB；在⊙O′中，由切割線定理，得PE²=PA•PB；聯(lián)立兩式得PE²=PC•PD，由此可求出PE的長．
（2）△COD中，已知底邊CD的長，需求出CD邊上的高；過O作CD的垂線，設垂足為F；由垂徑定理得CF=FD=4；在Rt△COF中，已知了OC的長，可用勾股定理求出OF的長；進而可根據三角形的面積公式求得△COD的面積．
點評：本題考查了切割線定理、垂徑定理、勾股定理等知識．求圓的弦長、弦心距的問題可以轉化為解直角三角形的問題．