Question

（2013•鷹潭模擬）已知：拋物線m：y=a（x-2）²+b（ab＜0）的頂點為P，與x軸的交點為A，B（點A在點B的左側）．
（1）當a=-1，b=4，直接寫出與拋物線m有關的三條正確結論；
（2）若拋物線m經(jīng)過原點，且△ABP為直角三角形．求a，b的值；
（3）若將拋物線m沿x軸翻折180°得拋物線n，拋物線n的頂點為Q，則以A，P，B，Q為頂點的四邊形能否為正方形？若能，請求出a，b滿足的關系式；若不能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)y=a（x-2）²+b利用a=-1，b=4，直接得出答案；
（2）根據(jù)直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0），以及拋物線經(jīng)過原點，得出A（0，0），B（4，0），進而求出AE=BE=EC，當拋物線的頂點為P（2，-2）時，以及當拋物線的頂點為P′（2，2）時求出即可；
（3）根據(jù)拋物線m沿x軸翻折180°得拋物線n，則AB=PQ時，四邊形APBQ是正方形，即可求出．

解答：解：（1）①拋物線開口向下；②拋物線的對稱軸是：x=2；
③拋物線的頂點坐標是（2，4）（答案不唯一）；
            
（2）設直線x=2與x軸交于點E，則E（2，0）．
∵拋物線經(jīng)過原點，∴A（0，0），B（4，0）．
△ABC為直角三角形，根據(jù)拋物線的對稱性可知AP=BP，
∴AE=BE=PE，
∴P（2，-2）或（2，2）．
當拋物線的頂點為P（2，-2）時，y=a（x-2）²-2，把（0，0）代入，
得：a=

1

2

，此時，b=-2．
當拋物線的頂點為P（2，2）時，y=a（x-2）²+2，把（0，0）代入，
得：a=-

1

2

，此時，b=2．
∴a=

1

2

，b=-2或a=-

1

2

，b=2．

（3）依題意，A、B關于點E中心對稱，當P，Q也關于點E對稱，
則當AB=PQ時，四邊形APBQ是正方形．
令y=0，則a（x-2）²+b=0
解得：x1=2+

- b a

，x2=2-

- b a

且E（2，0）
∴AB=x₁-x₂=2

- b a

，PQ=2|b|，
∴2

- b a

=2|b|，
∴ab=-1．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的頂點式的應用以及二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數(shù)形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．