Question

18、如圖，在三角形ABC中，AC=BC，若將△ABC沿BC方向向右平移BC長的距離，得到△CEF，連接AE．試猜想，AE與CF有何位置上的關(guān)系？并對你的猜想給予證明．

Answer 1

分析：猜想：AE與CF互相垂直平分．由于△CEF是△ABC沿BC平移得到的，那么可知AC∥EF，于是∠CAD=∠FED，∠ADC=∠EDF，結(jié)合AC=EF，易證△ACD≌△EFD，從而有CD=FD，AD=ED，而△CEF是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形三線合一定理可知AE⊥CF，從而可證AE與CF垂直且平分．

解答：證明：猜想：AE與CF互相垂直平分．
∵△CEF是△ABC沿BC平移得到的，
∴AC∥EF，
∴∠CAD=∠FED，AC=EF，∠ADC=∠EDF，
∴△ACD≌△EFD，
∴CD=FD，AD=ED，
又∵CE=EF，
∴AE⊥CF，
∴AE與CF垂直且平分．

點評：本題考查了等腰三角形三線合一定理、平移的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、線段垂直平分線的判定．解題的關(guān)鍵是證明△ACD≌△EFD．