Question

（2013•如東縣模擬）以平面上一點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)，分別畫出兩個(gè)直角三角形，記作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，連接FM、EM．
①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D、C分別在AO、BO的延長(zhǎng)線上時(shí)，

FM

EM

=

3

2

；
②如圖2，將圖1中的△AOB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜60°），其他條件不變，判斷

FM

EM

的值是否發(fā)生變化，并對(duì)你的結(jié)論進(jìn)行證明；
（2）如圖3，若BO=3

3

，點(diǎn)N在線段OD上，且NO=2．點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在將△AOB繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，線段PN長(zhǎng)度的最小值為

3

2

3

-2

，最大值為

3

3

+2

．

Answer 1

分析：（1）①連接EF，由已知條件證明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出

FM

EM

的值；②若△AOB繞點(diǎn)O沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜60°），其他條件不變，

FM

EM

的值不發(fā)生變化，連接EF、AD、BC，由①的思路證明∠EMF=30°即可；
（2）過O作OE⊥AB于E，由已知條件求出當(dāng)P在點(diǎn)E處時(shí)，點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離最近為

3 3

2

，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=

3 3

2

-2；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長(zhǎng)線時(shí)，NP取最大值OB+ON=3

3

+2．

解答：解：（1）①連接EF，
∵點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，
∴EF，F(xiàn)M是分別是△ACD和△DBC的中位線，
∴EF∥AD，F(xiàn)M∥CB，
∵∠ABO=∠DCO=30°，
∴∠CDO=60°，
∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，
∴∠EFM=90°，
∴△EFM是直角三角形，
∵EM∥CD，
∴∠EMF=∠MFD=30°，
∴cos30°=

FM

EM

=

3

2

，
故答案為：

3

2

；
②結(jié)論：

FM

EM

的值不變，
證明：連接EF、AD、BC，
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴

AO

BO

=tan30°=

3

3

．
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴

DO

CO

=tan30°=

3

3

．
∴

AO

BO

=

DO

CO

=

3

3

．
∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC．
∴△AOD∽△BOC．  
∴

AD

BC

=

3

3

，∠1=∠2．
∵點(diǎn)E、F、M分別是AC、CD、DB的中點(diǎn)，
∴EF∥AD，F(xiàn)M∥CB，且EF=

1

2

AD，FM=

1

2

CB．
∴

EF

FM

=

3

3

，
∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5．
∵∠2+∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°．
∴∠EFM=90°．
∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，tan∠EMF=

EF

FM

=

3

3

，
∴∠EMF=30°．
∴

FM

EM

=cos∠EMF=

3

2

；

（2）過O作OE⊥AB于E，
∵BO=3

3

，∠ABO=30°，
∴AO=3，AB=6，
∴

1

2

AB•OE=

1

2

OA•OB，
∴OE=

3 3

2

，
∴當(dāng)P在點(diǎn)E處時(shí)，點(diǎn)P到O點(diǎn)的距離最近為

3 3

2

，
這時(shí)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=

3 3

2

-2；

當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B處時(shí)，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長(zhǎng)線時(shí)，NP取最大值OB+ON=3

3

+2，
∴線段PN長(zhǎng)度的最小值為

3

2

3

-2，最大值為3

3

+2．

故答案為

3

2

3

-2；3

3

+2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)三角形的中位線的判定和性質(zhì)、梯形的中位線和性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)關(guān)系．