Question

14．啟知學(xué)習(xí)小組在課外學(xué)習(xí)時，發(fā)現(xiàn)了這樣一個問題：如圖（1），在四邊形ABCD中，連接AC，BD，如果△ABC與△BCD的面積相等，那么AD∥BC
在小組交流時，他們在圖（1）中添加了如圖所示的輔助線，AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F．請你完成他們的證明過程．
結(jié)論應(yīng)用
在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$（x≠0）的圖象經(jīng)過A（1，4），B（a，b）兩點，過點A作AC⊥x軸于點C，過點B作BD⊥y軸于點D．
（A）
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖（2），已知b=1，AC，BD相交于點E，求證：CD∥AB．
（B）
（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）如圖（3），若點B在第三象限，判斷并證明CD與AB的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 先根據(jù)兩三角形的面積相等得出AE=AF，再由AE⊥BC，DF⊥BC得出AE∥DF，故可判斷出四邊形AEFD是平行四邊形，由此可得出結(jié)論；
（A）（1）直接把點A的坐標(biāo)代入反比函數(shù)的解析式即可；
（2）連接AD、BC，先根據(jù)b=1得出B點坐標(biāo)，再由AC⊥x軸，BD⊥y軸得出C、D、E三點坐標(biāo)，故可得出CE=DE=1，AE=BE=3．再由S_△ABC=S_△ADB即可得出結(jié)論；
（B）（1）直接把點A的坐標(biāo)代入反比函數(shù)的解析式即可；
（2）連接AD，BC，延長BD，AC相交于點M，根據(jù)A（1，4），B（a，b）可得出M（1，b），BM=1-a，AM=4-b，且b=$\frac{4}{a}$，再得出S_△ABC及S_△ABD表達(dá)式即可得出S_△ABC=S_△ABD，由此得出結(jié)論．

解答 解：∵AE⊥BC于點E，DF⊥BC于點F，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AE，S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•DF．
∵S_△ABC=S_△BCD，
∴AE=DF．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
（A）（1）∵把點A（1，4）代入反比例函數(shù)y=$\frac{m}{x}$得，4=$\frac{m}{1}$，解得m=4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=$\frac{4}{x}$；
（2）如圖1，連接AD、BC，
∵把b=1代入函數(shù)解析式得，a=4，
∴B（4，1）．
∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，
∴AC⊥BC，C（1，0），D（0，1），E（1，1），
∴CE=DE=1，AE=BE=3．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BE，S_△ADB=$\frac{1}{2}$BD•AE，且AC=BD=4，BE=AE=3，
∴S_△ABC=S_△ADB，
∴CD∥AB．

（B）（1）∵A（1，4），
∴4=$\frac{m}{1}$，解得m=4，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y=$\frac{4}{x}$；
（2）CD∥AB．
理由：如圖2，連接AD，BC，延長BD，AC相交于點M，
∵A（1，4），B（a，b），
∴M（1，b），BM=1-a，AM=4-b，且b=$\frac{4}{a}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BM=$\frac{1}{2}$×4（1-a）=2（1-a），
S_△ABD=$\frac{1}{2}$BD•AM=$\frac{1}{2}$（-a）（4-b）=$\frac{1}{2}$（-a）（4-$\frac{4}{a}$）=2（1-a），
∴S_△ABC=S_△ABD，
∴CD∥AB．

點評 本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點、三角形的面積公式及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出等底同高的三角形是解答此題的關(guān)鍵．