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        1. 已知:點A、B分別是直線m、n上兩點,在直線n上找一點C,使BC=AB,連接AC,在線段AC上取一點E,作∠BEF=∠ABC,EF交直線m于點F.
          (1)當∠ABC=60°時(如圖1),求證:AE+AF=BC;
          (2)當∠ABC=90°時(如圖2),則AE、AF、BC之間的數(shù)量關系是______;
          (3)當∠ABC=120°時(如圖3),設EF與AB交于點M,若AC=4數(shù)學公式,AF=1,求EM的長.

          解:(1)在AB上截取AG=AF,則△AFG是等邊三角形,連接FG、FB(如圖1);
          ∵∠BAF=∠BEF=60°,
          ∴A、F、B、E四點共圓,
          ∴∠AEF=∠ABF(即∠GBF);
          又∵AF=GF,∠EAF=∠FGB=180°-60°=120°,
          在△EAF與△BGF中,
          ,
          ∴△EAF≌△BGF,
          ∴AE=BG,故AF+AE=AB=BC.

          (2)在AB上截取AG=AF,連接FG,則△AFG是等腰直角三角形,連接FB(如圖2);
          同(1)可證得△EAF∽△BGF,
          得:BG:AE=FG:AF=,即BG=AE;
          ∴BC=AB=AG+BG=AF+AE.

          (3)在AB上截取AG=AF,連接FG,則△AFG是等腰三角形,且∠AFG=∠AGF=30°,連接FB(如圖3);
          同(1)(2)可證得:BC=AF+AE,即AE=
          在等腰△AFG中,AF=AG=1,∠FAG=120°,易求得FG=
          ∵∠EAM=∠FGA=30°,∠AME=∠FMG,AE=FG=,
          ∴△AME≌△GMF,得AM=MG=,ME=MF;
          同(1)(2)可知:A、F、B、E四點共圓,由相交弦定理得:
          ME•MF=AM•BM,即ME2=AM•BM=×(4-)=,解得ME=

          分析:(1)連接BF,在AB上截取AF=AG,連接FG,則△FAG是等邊三角形,得AF=FG,∠EAF=∠FGB=120°;由于∠FAB=∠BEF=∠ABC,所以E、A、F、B四點共圓,由圓周角定理得求得∠AEF=∠GBF,即可證得△AEF≌△GBF,由此可得AE=BG,即可證得所求的結(jié)論.
          (2)思路和輔助線作法同(1),只不過全等換成了相似,相似比由1:1變?yōu)榱?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png' />:1,因此結(jié)論應該是BC=AE+AF.
          (3)輔助線作法同(1),參照(1)(2)的求解過程,可推出BC=AF+AE,進而可根據(jù)BC、AF的長得到AE的值;在Rt△AFE中,易求得FG=AE=,那么可證得△AEM≌△GFM,即可得到AM=MG,且ME=FM,因此只需求得FM即可.由(1)(2)的解答過程可知A、F、B、E四點共圓,在這個圓中,利用相交弦定理即可求得ME的值.
          點評:此題主要考查了相似三角形及全等三角形的判定和性質(zhì)、確定圓的條件以及相交弦定理等知識,綜合性強難度較大.
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          12
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