Question

（1）比較下列各組數的大小，找規(guī)律，提出你的猜想：

1

2

＜

1+3

2+3

； 

2

3

＜

2+1

3+1

； 

3

4

＜

3+2

4+2

；　

4

5

＜

4+6

5+6

； 

2

9

＜

2+5

9+5

； 

8

17

＜

 

8+10

17+10

．
從上面的各式發(fā)現一個正分數的分子和分母

都加上同一個正數

，所得分數的值比原分數的值要

大

．
猜想：設a＞b＞0，m＞0，則

b

a

＜

b+m

a+m

．
（2）試證明你的猜想：
（3）試用（1）中你歸納的數學關系式，解釋下面生活中的一個現象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”．

Answer 1

分析：（1）將每一個右邊的式子計算，兩數通分后比較大小，即可判斷出前面的數比后面的數小，由此總結得到一個正分數的分子分母都加上同一個正數，所得分數的值比原分數的值要大，利用式子表示出此規(guī)律即可；
（2）將所證式子前面的項減去后面的項，利用作差法即可得證；
（3）分別表示出加糖前的含糖率與加糖后的含糖率，利用得出的結論即可判斷出加糖后含糖率變大，故糖水更甜了．

解答：解：（1）

1

2

＜

1+3

2+3

； 

2

3

＜

2+1

3+1

； 

3

4

＜

3+2

4+2

；　

4

5

＜

4+6

5+6

； 

2

9

＜

2+5

9+5

； 

8

17

＜

8+10

17+10

，
從上面的各式發(fā)現一個正分數的分子和分母都加上同一個正數，所得分數的值比原分數的值要大．
猜想：設a＞b＞0，m＞0，則

b

a

＜

b+m

a+m

；
（2）證明：∵a＞b＞0，m＞0，
∴b-a＜0，a+m＞0，
∴

b

a

-

b+m

a+m

=

b(a+m)-a(b+m)

a(a+m)

=

m(b-a)

a(a+m)

＜0，
則

b

a

＜

b+m

a+m

；
（3）“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不飽和），則糖水更甜了”，理由為：
證明：m克糖水里含有n克糖，含糖率為

n

m

，若再加入k克糖，含糖率為

n+k

m+k

，
∵

n

m

＜

n+k

m+k

，
∴加入k克糖后含糖率變大，
則糖水更甜了．
故答案為：（1）＜；＜；＜；＜；＜；＜；都加上同一個正數；大；＜

點評：此題考查了分式的混合運算的應用，屬于探究型題，利用了作差法比較兩數大小，其中分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母是多項式，應先將多項式分解因式后再約分．