Question

已知直線y=kx-4（k＞0）與x軸、y軸交于A、C兩點(diǎn)，過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線開口向上，且與x軸交于一點(diǎn)B．
（I）寫出A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)（可用k表示）；
（II）若AO=3BO，點(diǎn)B到直線AC的距離等于

16

5

，求直線及拋物線的解析式；
（III）是否存在點(diǎn)A、點(diǎn)B使tan∠ACB=2，且△ABC外接圓截y軸所得弦長(zhǎng)等于5，若存在，求過(guò)點(diǎn)A、B、C的拋物線解析式，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（ I）根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法即可得出A，C的坐標(biāo)；
（ II）假設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得出AB，AC的長(zhǎng)度，再利用AB•OC=AC•BD，得出A，B坐標(biāo)，即可求出直線與拋物線的解析式；
（ III）利用解直角三角形的性質(zhì)得出△OBC∽△ODA，進(jìn)而求出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出二次函數(shù)的解析式．

解答：解：（ I）∵直線y=kx-4與x軸、y軸交于A、C兩點(diǎn)，
∴y=0，x=

4

k

，
x=0，y=-4，
∴A(

4

k

，0)，C（0，-4）（2分）；

（ II）設(shè)A（3α，0），B（-α，0），
在△ABC中，AB•OC=AC•BD，
∴4α•4=

9α2+16

•

16

5

，
∴α=1，
∴A（3，0）B（-1，0），
將A（3，0）代入y=kx-4，得k=

4

3

，
∴y=

4

3

x-4（4分），
設(shè)拋物線解析式為y=m（x-3）（x+1），
，將C（0，-4）代入，得m=

4

3

，
∴y=

4

3

x2-

8

3

x-4（6分）；

（ III）存在（7分），
如圖，設(shè)△ABC外接圓圓心為M，作MG⊥x軸，交AB于點(diǎn)E，交圓M于點(diǎn)G，MF⊥y軸于點(diǎn)F
則CO=4，CF=2.5，
∴FO=1.5，
∵M(jìn)G⊥AB，
∴

AG

=

BG

，∠AME=∠ACB，
Rt△AME中，tan∠AME=2ME=OF，
∴AE=3AB=6，
∵∠CBO=∠ADO，∠BOC=∠DOA，
由△OBC∽△ODA，
得

OB

OC

=

OD

DA

，
∴OB•OA=OD•OC，
設(shè)OB=x，則OA=6-x，
∴x(6-x)=4∴x=3±

5

，
∴A(3±

5

，0)B(-3±

5

，0)（9分），
設(shè)所求拋物線解析式為y=a(x-3±

5

)(x-

5

±3)，
將C（0，-4）代入，得a=1，
∴y=x2±2

5

x-4（10分）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)以一次函數(shù)的綜合題目，主要利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，利用三角形的相似得出A，B，兩點(diǎn)的坐標(biāo)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．