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        1. (2012•義烏市)如圖1,已知直線y=kx與拋物線y=-
          4
          27
          x2
          +
          22
          3
          交于點A(3,6).
          (1)求直線y=kx的解析式和線段OA的長度;
          (2)點P為拋物線第一象限內(nèi)的動點,過點P作直線PM,交x軸于點M(點M、O不重合),交直線OA于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究:線段QM與線段QN的長度之比是否為定值?如果是,求出這個定值;如果不是,說明理由;
          (3)如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點,點E在線段OA上(與點O、A不重合),點D(m,0)是x軸正半軸上的動點,且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD.繼續(xù)探究:m在什么范圍時,符合條件的E點的個數(shù)分別是1個、2個?
          分析:(1)利用待定系數(shù)法求出直線y=kx的解析式,根據(jù)A點坐標(biāo)用勾股定理求出線段OA的長度;
          (2)如答圖1,過點Q作QG⊥y軸于點G,QH⊥x軸于點H,構(gòu)造相似三角形△QHM與△QGN,將線段QM與線段QN的長度之比轉(zhuǎn)化為相似三角形的相似比,即
          QM
          QN
          =
          QH
          QG
          =
          QH
          OH
          =tan∠AOM=2
          為定值.需要注意討論點的位置不同時,這個結(jié)論依然成立;
          (3)由已知條件角的相等關(guān)系∠BAE=∠BED=∠AOD,可以得到△ABE∽△OED.設(shè)OE=a,則由相似邊的比例關(guān)系可以得到m關(guān)于x的表達(dá)式m=-
          1
          5
          a2+
          3
          5
          5
          a(0<a<3
          5
          ),這是一個二次函數(shù).借助此二次函數(shù)圖象(如答圖3),可見m在不同取值范圍時,a的取值(即OE的長度,或E點的位置)有1個或2個.這樣就將所求解的問題轉(zhuǎn)化為分析二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題.
          另外,在相似三角形△ABE與△OED中,運用線段比例關(guān)系之前需要首先求出AB的長度.如答圖2,可以通過構(gòu)造相似三角形,或者利用一次函數(shù)(直線)的性質(zhì)求得AB的長度.
          解答:解:(1)把點A(3,6)代入y=kx 得;
          ∵6=3k,
          ∴k=2,
          ∴y=2x.(2分)
          OA=
          32+62
          =3
          5
          .…(3分)

          (2)
          QM
          QN
          是一個定值,理由如下:
          如答圖1,過點Q作QG⊥y軸于點G,QH⊥x軸于點H.
          ①當(dāng)QH與QM重合時,顯然QG與QN重合,
          此時
          QM
          QN
          =
          QH
          QG
          =
          QH
          OH
          =tan∠AOM=2

          ②當(dāng)QH與QM不重合時,
          ∵QN⊥QM,QG⊥QH
          不妨設(shè)點H,G分別在x、y軸的正半軸上,
          ∴∠MQH=∠GQN,
          又∵∠QHM=∠QGN=90°
          ∴△QHM∽△QGN…(5分),
          QM
          QN
          =
          QH
          QG
          =
          QH
          OH
          =tan∠AOM=2
          ,
          當(dāng)點P、Q在拋物線和直線上不同位置時,同理可得
          QM
          QN
          =2
          . …(7分)①①

          (3)如答圖2,延長AB交x軸于點F,過點F作FC⊥OA于點C,過點A作AR⊥x軸于點R
          ∵∠AOD=∠BAE,
          ∴AF=OF,
          ∴OC=AC=
          1
          2
          OA=
          3
          2
          5

          ∵∠ARO=∠FCO=90°,∠AOR=∠FOC,
          ∴△AOR∽△FOC,
          OF
          OC
          =
          AO
          OR
          =
          3
          5
          3
          =
          5

          ∴OF=
          3
          2
          5
          ×
          5
          =
          15
          2
          ,
          ∴點F(
          15
          2
          ,0),
          設(shè)點B(x,-
          4
          27
          x2+
          22
          3
          ),
          過點B作BK⊥AR于點K,則△AKB∽△ARF,
          BK
          FR
          =
          AK
          AR
          ,
          x-3
          7.5-3
          =
          6-(-
          4
          27
          x2+
          22
          3
          )
          6
          ,
          解得x1=6,x2=3(舍去),
          ∴點B(6,2),
          ∴BK=6-3=3,AK=6-2=4,
          ∴AB=5         …(8分);
          (求AB也可采用下面的方法)
          設(shè)直線AF為y=kx+b(k≠0)把點A(3,6),點F(
          15
          2
          ,0)代入得
          k=-
          4
          3
          ,b=10,
          y=-
          4
          3
          x+10
          ,
          y=-
          4
          3
          x+10
          y=-
          4
          27
          x2+
          22
          3

          x1=3
          y1=6
          (舍去),
          x2=6
          y2=2

          ∴B(6,2),
          ∴AB=5…(8分)
          (其它方法求出AB的長酌情給分)
          在△ABE與△OED中
          ∵∠BAE=∠BED,
          ∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB,
          ∴∠ABE=∠DEO,
          ∵∠BAE=∠EOD,
          ∴△ABE∽△OED.…(9分)
          設(shè)OE=a,則AE=3
          5
          -a(0<a<3
          5
          ),
          由△ABE∽△OED得
          AE
          AB
          =
          OD
          OE
          ,
          3
          5
          -a
          5
          =
          m
          a
          ,
          ∴m=
          1
          5
          a(3
          5
          -a)=-
          1
          5
          a2+
          3
          5
          5
          a(0<a<3
          5
          ),
          ∴頂點為(
          3
          2
          5
          9
          4

          如答圖3,當(dāng)m=
          9
          4
          時,OE=a=
          3
          2
          5
          ,此時E點有1個;
          當(dāng)0<m<
          9
          4
          時,任取一個m的值都對應(yīng)著兩個a值,此時E點有2個.
          ∴當(dāng)m=
          9
          4
          時,E點只有1個…(11分)
          當(dāng)0<m<
          9
          4
          時,E點有2個…(12分).
          點評:本題是中考壓軸題,難度較大,解題核心是相似三角形與拋物線的相關(guān)知識,另外也考查了一次函數(shù)、勾股定理等重要知識點.解題的難點在于轉(zhuǎn)化思想的運用,本題第(2),(3)問都涉及到了問題的轉(zhuǎn)化,要求同學(xué)們能夠?qū)⑺蠼獾膯栴}轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)問題,利用自己所熟悉的數(shù)學(xué)知識去解決問題,否則解題時將不知道從何下手而導(dǎo)致失分.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•義烏市)如圖,矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上,點D為對角線OB的中點,點E(4,n)在邊AB上,反比例函數(shù)y=
          k
          x
          (k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E,且tan∠BOA=
          1
          2

          (1)求邊AB的長;
          (2)求反比例函數(shù)的解析式和n的值;
          (3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F,將矩形折疊,使點O與點F重合,折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G,求線段OG的長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•義烏市模擬)如圖,DE是△ABC的中位線,DE=2cm,則BC=
          4
          4
          cm.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•義烏市模擬)計算:|-
          3
          |-(-4)-1-2cos30°

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•義烏市模擬)已知△ABC與△DEF相似且對應(yīng)高的比為2:5,則△ABC與△DEF的面積比為
          4:25
          4:25

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•義烏市模擬)已知拋物線y=-
          1
          2
          x2+2x
          與直線y=kx都經(jīng)過原點和點E(
          8
          3
          ,
          16
          9
          )

          (1)k=
          2
          3
          2
          3
          ;
          (2)如圖,點P是直線y=kx(x>0)上的一個動點,過點P作x軸的垂線,垂足是點C,交拋物線于點B,過點B作x軸的平行線交直線y=kx于點D,連接OB;若以B、P、D為頂點的三角形與△OBC相似,則點P的坐標(biāo)是
          16
          3
          ,
          32
          9
          )或(7,
          14
          3
          )或(1,
          2
          3
          16
          3
          32
          9
          )或(7,
          14
          3
          )或(1,
          2
          3

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          同步練習(xí)冊答案