Question

△ABC是等腰直角三角形，BC=AC，直角頂點(diǎn)C在x軸上，一銳角頂點(diǎn)B在y軸上．
（1）如圖①若AD于垂直x軸，垂足為點(diǎn)D．點(diǎn)C坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，1），求點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）如圖②，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，若y軸恰好平分∠ABC，AC與y軸交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸于E，請(qǐng)猜想BD與AE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．
（3）如圖③，直角邊BC在兩坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，使點(diǎn)A在第四象限內(nèi)，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥y軸于F，在滑動(dòng)的過(guò)程中，兩個(gè)結(jié)論①

CO-AF

OB

為定值；②

CO+AF

OB

為定值，只有一個(gè)結(jié)論成立，請(qǐng)你判斷正確的結(jié)論加并求出定值，不必證明．

Answer 1

分析：（1）只要求出Rt△ADC≌Rt△COB即可求．
（2）此題有兩種證法：①延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，證明△ABE≌△FBE即易求AE=

1

2

BD；②作BD的中垂線(xiàn)交BD于F，AB于點(diǎn)G，連接GD．證明Rt△GDF≌Rt△EAD即易求AE=

1

2

BD．
（3）

CO-AF

OB

=1，若證明則過(guò)點(diǎn)A作AM⊥CO于M，證明△BOC≌△CMA即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)C坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-3，1）
∴AD=OC（1分）
在Rt△ADC和Rt△COB中

AD=OC AC=BC

∴Rt△ADC≌Rt△COB（HL）（2分）
∴OB=CD=2（3分）
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，2）（4分）

（2）猜想：AE=

1

2

BD（5分）
證法一：延長(zhǎng)AE交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，
∵∠ABE=∠FBE，∠AEB=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
得AE=EF=

1

2

AF，
在△BCD和△ACF中，

∠CBD=∠CAF AC=BC ∠BCD=∠ACF

∴△BCD≌△ACF（ASA）
得AF=BD（7分）
∴AE=

1

2

BD（8分）

證法二：作BD的中垂線(xiàn)交BD于F，AB于點(diǎn)G，連接GD
則GB=GDFD=BF=

1

2

BD
∴∠GBD=∠GDF
∵y軸平分∠ABC，且∠ABC=45°
∴∠GBD=∠GDF=22.5°
∵∠AGD=∠GBD+∠GDF
∴∠AGD=45°
∵∠BAC=45°
∴∠AGD=∠BAC
∴DG=AD
∵∠CBD+∠CDB=∠DAE+∠ADE=90°，且∠CDB=∠ADE
∴∠DAE=∠CBD=22.5°
∴∠DAE=∠GDF
在Rt△GDF和Rt△EAD中

∠GDF=∠DAE ∠GFD=∠AED GD=AD

∴Rt△GDF≌Rt△EAD（AAS）
∴AE=DF=

1

2

BD

（3）結(jié)論

CO-AF

OB

成立（9分）

CO-AF

OB

=1（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直角三角形全等的判定及性質(zhì)；此題較難，尤其（3）須巧妙借助輔助線(xiàn)作出全等三角形．