Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分線．

（1）求證：△BCD是等腰三角形；

（2）△BCD的周長(zhǎng)是a，BC=b，求△ACD的周長(zhǎng)（用含a，b的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a﹣b+b+b=a+b．

【解析】試題分析:（1）先由AB=AC，∠A=36°，可求∠B=∠ACB==72°，然后由DE是AC的垂直平分線，可得AD=DC，進(jìn)而可得∠ACD=∠A=36°，然后根據(jù)外角的性質(zhì)可求：∠CDB=∠ACD+∠A=72°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得：CD=CB，進(jìn)而可證△BCD是等腰三角形；

（2）由（1）知：AD=CD=CB=b，由△BCD的周長(zhǎng)是a，可得AB=a﹣b，由AB=AC，可得AC=a﹣b，進(jìn)而得到△ACD的周長(zhǎng)=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b．

（1）證明：∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠B=∠ACB==72°，

∵DE是AC的垂直平分線，

∴AD=DC，

∴∠ACD=∠A=36°，

∵∠CDB是△ADC的外角，

∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，

∴∠B=∠CDB，

∴CB=CD，

∴△BCD是等腰三角形；

（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周長(zhǎng)是a，

∴AB=a﹣b，

∵AB=AC，

∴AC=a﹣b，

∴△ACD的周長(zhǎng)=AC+AD+CD=a﹣b+b+b=a+b．

點(diǎn)睛:此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知．此題綜合性較強(qiáng)，但難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意等腰三角形的性質(zhì)與等量代換．