Question

（2008•門頭溝區(qū)二模）如圖，正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°后得到正方形AEFG，邊EF與CD交于點(diǎn)O．
（1）請(qǐng)?jiān)趫D中連接兩條線段（正方形的對(duì)角線除外）．要求：①所連接的兩條線段是以圖中已標(biāo)有字母的點(diǎn)為端點(diǎn)；②所連接的兩條線段互相垂直．
（2）若正方形的邊長(zhǎng)為2cm，重疊部分（四邊形AEOD）的面積為

4 3

3

cm2，旋轉(zhuǎn)的角度n是多少度？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）易證Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠DAO=∠OAE，則問題得證；
（2）四邊形AEOD，若連接OA，則OA把四邊形評(píng)分成兩個(gè)全等的三角形，根據(jù)解直角三角形得條件就可以求出旋轉(zhuǎn)的角度．

解答：解：（1）AO⊥DE．
證明：∵在Rt△ADO與Rt△AEO中，

AD=AE AO=AO

，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE），
∴AO⊥DE（等腰三角形的三線合一）．

（2）n=30°．
理由：連接AO，
∵四邊形AEOD的面積為

4 3

3

，
∴三角形ADO的面積

AD×DO

2

=

2 3

3

，
∵AD=2，
∴DO=

2 3

3

，
在Rt△ADO中，
∵tan∠DAO=

DO

AD

=

3

3

，
∴∠DAO=30°，
∴∠EAD=60°，∠EAB=30°，
即n=30°．故旋轉(zhuǎn)的角度n是30°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變是解題關(guān)鍵．