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        1. 16.如圖,C為線段AE上一動點(不與點A,E重合),在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE,AD與BE交于點O,AD與BC交于點P,BE與CD交于點Q,連接PQ.以下五個結(jié)論:
          ①PQ∥AE;②AD=BE;③DE=DP;④AP=BQ;⑤∠AOB=60°.
          恒成立的結(jié)論有①②④⑤.(把你認為正確的序號都填上)

          分析 由于△ABC和△CDE是等邊三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,從而證出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE; 由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根據(jù)∠PCQ=60°推出△PCQ為等邊三角形,又由∠PQC=∠DCE,根據(jù)內(nèi)錯角相等,兩直線平行,可知①正確;根據(jù)∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知③錯誤;根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)邊相等,然后根據(jù)線段的和差即可得到④正確;利用等邊三角形的性質(zhì),BC∥DE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正確.

          解答 解:∵△ABC和△CDE為等邊三角形,
          ∴AC=BC,CD=CE,∠BCA=∠DCB=60°,
          ∴∠ACD=∠BCE,
          在△ACD與△BCE中,
          $\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$,
          ∴△ACD≌△BCE,
          ∴AD=BE,(故②正確);
          ∵△ACD≌△BCE,
          ∴∠ADC=∠BEC,
          在△CDP與△CEQ中,
          $\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠BEC}\\{CD=CE}\\{∠PCQ=∠QCE}\end{array}\right.$,
          ∴△CDP≌△CEQ(ASA).
          ∴CP=CQ,
          ∴∠CPQ=∠CQP=60°,
          ∴∠QPC=∠BCA,
          ∴PQ∥AE,(故①正確);
          ∵DE>QE,且DP=QE,
          ∴DE>DP,(故③錯誤);
          ∵△CDP≌△CEQ,
          ∴DP=QE,
          ∵△ADC≌△BEC
          ∴AD=BE,
          ∴AD-DP=BE-QE,
          ∴AP=BQ,(故④正確);
          ∵∠ACB=∠DCE=60°,
          ∴∠BCD=60°,
          ∵等邊△DCE,
          ∠EDC=60°=∠BCD,
          ∴BC∥DE,
          ∴∠CBE=∠DEO,
          ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,故⑤正確.
          故答案為:①②④⑤.

          點評 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì),利用旋轉(zhuǎn)不變性,找到不變量,是解題的關(guān)鍵.

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