Question

【題目】在中，是邊上一點(diǎn)，將繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接．

（1）如圖1，連接，當(dāng)時，，若，，，求線段的長．

（2）如圖2，連接交于點(diǎn)，若，點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）6；（2）證明見解析

【解析】

（1）由勾股定理可求DF=，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DF=CD=AB=，由勾股定理可求BE的長；

（2）過點(diǎn)A作AH∥DE，交FD的延長線于點(diǎn)H，由平行四邊形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得∠H=∠C，∠HAD=∠DEC，由平行線分線段成比例定理可得HD=DF，由中位線可得AH=2DG，由“AAS”可證△AHD≌△ECD，可得AH=EC，即可得結(jié)論．

（1）∵∠ADF=90°，，

∴DF=

∵將CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)至DF，

∴DF=CD=

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=

∵AE=2BE，且AB2=AE2+BE2，

∴180=5BE2，

∴BE=6

故答案為：6

（2）如圖2，過點(diǎn)A作AH∥DE，交FD的延長線于點(diǎn)H，

∴∠HAD=∠ADE，∠H=∠EDF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD

∴∠B+∠C=180°，∠ADE=∠DEC，

∴∠HAD=∠DEC，

∵∠EDF+∠B=180°，

∴∠H=∠EDF=∠C，

∵DG∥AH，

∴，且AG=GF

∴HD=DF

∴HD=DF=CD，且AG=GF，

∴AH=2DG，

∵DH=DC，∠H=∠C，∠HAD=∠DEC，

∴△AHD≌△ECD（AAS），

∴AH=EC，

∴EC=2DG，

∴BE=BC-EC=AD-2DG．