Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD，∠ABC=60°，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，延長(zhǎng)DC到F，使DC=CF，連接BE、BF和EF．
（1）求證：△ABE≌△CFB；
（2）如果AD=6，tan∠EBC的值．

Answer 1

（1）證明：在△BAE與△FCB中，
∵

BA=FC(1分) ∠A=∠BCF，(2分) AE=BC，(3分)

，
∴△BAE≌△FCB；

（2）延長(zhǎng)BC交EF于點(diǎn)G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，
∵△BAE≌△FCB，
∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，
又∵AE∥BC，
∴△BEF為等腰三角形，
∴∠AEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠FBG，
∴BG⊥EF，
∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，
∴四邊形AMGE為矩形，
∴AM=EG，
在Rt△ABM中，
AM=AB•sin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴EG=AM=3

3

，
BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，
∴tan∠EBC=

EG

BG

=

3 3

15

=

3

5

．