Question

【題目】問題提出：

如圖1，在等邊△ABC中，AB＝9，⊙C半徑為3，P為圓上一動點，連結AP，BP，求AP+BP的最小值

(1)嘗試解決：

為了解決這個問題，下面給出一種解題思路，通過構造一對相似三角形，將BP轉化為某一條線段長，具體方法如下：(請把下面的過程填寫完整)

如圖2，連結CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有

又∵∠PCD＝∠　 　

△　 　∽△　 　

∴

∴PD＝BP

∴AP+BP＝AP+PD

∴當A，P，D三點共線時，AP+PD取到最小值

請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為　 　．

(2)自主探索：

如圖3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P為矩形內部一點，且PB＝4，則AP+PC的最小值為　 　．(請在圖3中添加相應的輔助線)

(3)拓展延伸：

如圖4，在扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．

Answer 1

【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作圖與求解過程見解析，2PA+PB的最小值為．

【解析】

(1)連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即可求解；

(2)在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，證明△ABP∽△PBF，當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，即可求解；

(3)延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，確定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，即可求解．

解：

(1)如圖1，

連結AD，過點A作AF⊥CB于點F，

∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，

∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，

即：AP+BP最小值為AD，

∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°

∴CF＝3，AF＝；

∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，

∴AD＝，

∴AP+BP的最小值為；

故答案為：；

(2)如圖2，

在AB上截取BF＝2，連接PF，PC，

∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，

∴，且∠ABP＝∠ABP，

∴△ABP∽△PBF，

∴，

∴PF＝AP，

∴AP+PC＝PF+PC，

∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，

∴CF＝，

∴AP+PC的值最小值為2，

故答案為：2；

(3)如圖3，

延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FB⊥OD于點M，

∵OC＝4，FC＝4，

∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，

∴，且∠AOP＝∠AOP

∴△AOP∽△POF

∴，

∴PF＝2AP

∴2PA+PB＝PF+PB，

∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，

∵∠COD＝120°，

∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM

∴OM＝4，FM＝4，

∴MB＝OM+OB＝4+3＝7

∴FB＝，

∴2PA+PB的最小值為．