Question

已知直線y=kx+3-k，無論k取哪一個實數(shù)，所得的直線總經(jīng)過一個定點，如圖，當(dāng)k=時，所得的直線分別交x軸、y軸于A，B兩點，
（1）求A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）對于直線y=kx+3-k，當(dāng)k=1時，所得的直線與直線AB交于點P，以點P為頂點的拋物線y=a（x-1）²+b經(jīng)過點A．求出點P的坐標(biāo)及拋物線的表達(dá)式；
（3）設(shè)k≠時，直線y=kx+3-k與（2）中拋物線的一個交點為點E，求當(dāng) k為何值時，在拋物線的對稱軸上存在一點D，使得四邊形ABED是平行四邊形．

Answer 1

解：（1）當(dāng)k=時，直線y=x+，
把x=0代入y=x+得y=，
∴B（0，），
把y=0代入y=x+得x=-1，
∴A（-1，0）；
（2）當(dāng)k=1，直線y=x+2，
由，解得，
∴P（1，3）
∵拋物線y=a（x-1）²+b的頂點坐標(biāo)P（1，3），
∴b=3，
把A（-1，0）代入拋物線y=a（x-1）²+3解得a=-，
∴拋物線的表達(dá)式是y=-（x-1）²+3；
（3）把P（1，3）代入y=kx+3-k，左邊=右邊，
∴直線y=kx+3-k經(jīng)過的定點為P（1，3），
∵P在直線AB上，由題意可知E顯然不與P重合，如圖：由（2）得拋物線的對稱軸為x=1，
設(shè)對稱軸交x軸于C，點E的坐標(biāo)為（x，y），過E作EF⊥y軸于F，
若四邊形ABED是平行四邊形，則△EFB≌△ACD，
得EF=AC=2，
∴x=2，
將x=2代入拋物線的表達(dá)式得y=，
∴E（2，），
又∵直線y=kx+3-k過點E，
∴=2k+3-k，
解得k=-，
答：當(dāng)k=-時，在拋物線的對稱軸上存在一點D，使得四邊形ABED是平行四邊形．
分析：（1）把k=代入y=kx+3-k，即可得到直線的解析式，再分別令x=0和y=0即可求出A，B兩點的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k=1時，則直線的解析式為y=x+2，聯(lián)立兩直線的解析式可求出P的坐標(biāo)，把A（-1，0）代入即可求出拋物線的表達(dá)式；
（3）設(shè)對稱軸交x軸于C，點E的坐標(biāo)為（x，y），過E作EF⊥y軸于F，若四邊形ABED是平行四邊形，則△EFB≌△ACD，得EF=AC=2，所以x=2，把x=2代入拋物線的解析式可求出y的值，又因為直線y=kx+3-k過點E，進(jìn)而求出k的值．
點評：本題主要考查對用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點，解二元一次方程組，軸對稱的性質(zhì)等知識點的連接和掌握，熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性強(qiáng)．