Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)E在△ABC的邊AB上，∠C＝90°，以AE為直徑的⊙O切BC于點(diǎn)D.

(1)求證：AD平分∠BAC；

(2)已知∠B＝30°，AD＝2，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；(2) S陰影=2－.

【解析】

（1）連接OD，可證明OD∥AC，結(jié)合平行線的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）由直角三角形的性質(zhì)可求得BD，再結(jié)合三角函數(shù)可求得OD，可求得△OBD和扇形OED的面積，可求得陰影部分面積．

（1）證明：如答圖，連接OD.

∵BC為⊙O的切線，∴OD⊥BC.

又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，

∴∠ODA＝∠DAC.

又∵OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.

(2)解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∴BD＝AD＝2.

在Rt△OBD中，tan B＝，即＝，

∴OD＝2，且∠BOD＝60°，

∴S陰影＝S△OBD－S扇形OED

＝×2×2－

＝2－.