Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)定義：平面上的任一點(diǎn)到二次函數(shù)圖象上與它橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)的距離，稱為點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．如：點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離是線段的長．已知點(diǎn)為拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，且在軸上方，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)以為頂點(diǎn)的四邊形是邊長為4的菱形時(shí)，請求出點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離．

(3)在(2)中，當(dāng)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小時(shí)，在為頂點(diǎn)的菱形內(nèi)部是否存在點(diǎn)，使得之和最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)的和最小值為．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法列方程組求出a、b的值即可；（2）根據(jù)拋物線解析式可求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出對稱軸解析式，分兩種情況：當(dāng)以AB為邊時(shí)，EF//AB，由對稱軸可得E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)EF=AB=4即可得出F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出EM的長，把F點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線解析式，根據(jù)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離的定義即可得出答案；當(dāng)以AB為菱形對角線時(shí)，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB⊥EF，利用勾股定理可求出FM的長，進(jìn)而可得F點(diǎn)坐標(biāo)，把F點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線解析式，根據(jù)點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離的定義即可得出答案；（3）由當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，連接，作于，根據(jù)AB=AF=BF可證明△ABF是等邊三角形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知均為等邊三角形，進(jìn)而可得當(dāng)共線時(shí)的和最短，在Rt△APN中，利用勾股定理求出AN的長即可得答案.

(1)∵拋物線過點(diǎn)，

∴

解得

∴解析式.

(2)當(dāng)時(shí)，由，得，

對稱軸所在直線為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

∵拋物線與軸相交于點(diǎn)．

∴

①若為菱形的邊，如圖1，則，且的橫坐標(biāo)為3

∴的橫坐標(biāo)為7或-1，

∵，

∴

∴或，

當(dāng)，

∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為，

當(dāng)x=-1時(shí)，y=×(-1)2-(-1)×3+=6，

∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為.

②若為對角線，如圖2，

∵是菱形，，

∴EM=FM==

∴，

當(dāng)x=3時(shí)，y=×32-3×3+=-2，

∴點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為=-2，

綜上所述：點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離為或-2.

(3)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到二次函數(shù)圖象的垂直距離最小，如圖3，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，連接，作于，

∵AB=4，AF=BF=4，

∴△ABF是等邊三角形，

∵將繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到位置，

∴≌，且均為等邊三角形，

∴，

∵，

∴當(dāng)共線時(shí)的和最短，即最短值為的長．

∵，

∴且，

∴，

∴，

在中，，

∴的和最小值為．