Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，點F在射線AM上，且AF＝，過點F作AD的平行線交BA的延長線于點H，CF與AD相交于點G，連接EC、EG、EF．下列結(jié)論：①△ECF的面積為；②△AEG的周長為8；③EG2＝DG2+BE2；其中正確的是（　　）

A.①②③B.①③C.①②D.②③

Answer 1

【答案】C

【解析】

先判斷出∠H＝90°，進而求出AH＝HF＝1＝BE．進而判斷出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判斷出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，即可得出①正確；先判斷出四邊形APFH是矩形，進而判斷出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PH＝AH＝1，同理：四邊形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判斷出△FPG∽△FQC，得出,求出PG＝，再根據(jù)勾股定理求得EG＝，即△AEG的周長為8，判斷出②正確；先求出DG＝，進而求出DG2+BE2＝，在求出EG2=≠，判斷出③錯誤，即可得出結(jié)論．

解：如圖，在正方形ABCD中,AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4,∠B＝∠BAD＝90°,

∴∠HAD＝90°,

∵HF∥AD,

∴∠H＝90°,

∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°,

∴∠AFH＝∠HAF.

∵AF＝,

∴AH＝HF＝1＝BE.

∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC,

∴△EHF≌△CBE（SAS）,

∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE,

∵∠BCE+∠BEC＝90°,

∴HEF+∠BEC＝90°,

∴∠FEC＝90°,

∴△CEF是等腰直角三角形,

在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4,

∴EC2＝BE2+BC2＝17,

∴S△ECF＝EFEC＝EC2＝,故①正確:

過點F作FQ⊥BC于Q,交AD于P,

∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD,

∴四邊形APFH是矩形,

∵AH＝HF,

∴矩形AHFP是正方形,

∴AP＝PH＝AH＝1,

同理：四邊形ABQP是矩形,

∴PQ＝AB＝4,BQ＝AP1,FQ＝FP+PQ＝5,CQ＝BC﹣BQ＝3,

∵AD/span>∥BC,

∴△FPG∽△FQC,

∴,

∴,

∴PG＝,

∴AG＝AP+PG＝,

在Rt△EAG中，根據(jù)勾股定理得，EG＝,

∴△AEG的周長為AG+EG+AE＝=8，故②正確；

∵AD＝4，

∴DG＝AD﹣AG＝,

∴DG2+BE2＝+1＝,

∵EG2＝（）2＝≠,

∴EG2≠DG2+BE2,故③錯誤,

∴正確的有①②,

故選:C.