Question

對于每個非零自然數(shù)n，拋物線y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_nB_n兩點，以A_nB_n表示這兩點間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉+A₂₀₁₀B₂₀₁₀的值是

 

．

Answer 1

分析：由題意n為自然數(shù)，拋物線y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_nB_n兩點，關(guān)鍵是把方程x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0分解因式，求出方程的解，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律來解題．

解答：解：∵拋物線y=x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_nB_n兩點，
∴令y=0得，x2-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=0
∴方程分解為：（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）=0，
∴A_nB_n=

1

n

-

1

n+1

，
∴A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉+A₂₀₁₀B₂₀₁₀=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2010

-

1

2011

=1-

1

2011

=

2010

2011

．

點評：解此題的關(guān)鍵是要會分解因式，找出A_nB_n的表達式，此題此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程的根，要充分運用這一點來解題．