Question

對(duì)于每個(gè)非零自然數(shù)n，拋物線(xiàn)y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

與x軸交于A_n、B_n兩點(diǎn)，以A_nB_n表示這兩點(diǎn)間的距離，則A₁B₁+A₂B₂+…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉的值是

 

．

Answer 1

分析：先化簡(jiǎn)拋物線(xiàn)y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

，然后求出一元二次方程的根，根據(jù)兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差求出距離，找出規(guī)律解答即可．

解答：解：y=x²-

2n+1

n(n+1)

x+

1

n(n+1)

=（x-

1

n

）（x-

1

n+1

）
故拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

n

，0）和（

1

n+1

，0）
由題意，AnBn=

1

n

-

1

n+1

那么，A₁B₁+A₂B₂…+A₂₀₀₉B₂₀₀₉
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2009

-

1

2010

）
=1-

1

2010

=

2009

2010

．

點(diǎn)評(píng)：（1）本題考查的是二次函數(shù)與一元二次方程，在解答過(guò)程中，注意二次函數(shù)與一元二次方程之間的聯(lián)系，并從中擇取有用信息解題；
（2）求兩點(diǎn)間的距離時(shí)，要利用兩點(diǎn)間的坐標(biāo)差來(lái)解答．