Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1.5），我們把以點(diǎn)C為圓心，半徑為1.5的圓稱為點(diǎn)C的朋友圈，圓周上的每一個點(diǎn)叫做點(diǎn)C的一個好友．

（1）寫出點(diǎn)C的兩個好友坐標(biāo)；

（2）直線l的解析式是y=x﹣4，與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，圓心C從點(diǎn)（0，1.5）開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)C的朋友圈有好友落在直線上時，直線將受其影響，求在點(diǎn)C向下運(yùn)動的過程中，直線受其影響的時間；

（3）拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)O和點(diǎn)A，且頂點(diǎn)D恰好為點(diǎn)C的好友，連接OD．E為⊙C上一點(diǎn)，當(dāng)△DOE面積最大時，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，此時△DOE的面積是多少？

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)（0，0）、（0，3）為點(diǎn)C的好友；（2）在點(diǎn)C向下運(yùn)動的過程中，直線受其影響的時間為6≤t≤16；（3）當(dāng)△DOE面積最大時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣， ），此時△DOE的面積是．

【解析】試題分析：（1）由朋友圈以及好友的定義，結(jié)合圖形，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)圓心C往下運(yùn)動了t秒，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1.5﹣0.5t），根據(jù)好友的定義，結(jié)合點(diǎn)C到直線l的距離小于等于1.5，即可得出關(guān)于時間t的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)找出拋物線的對稱軸，結(jié)合函數(shù)圖象以及好友的定義找出點(diǎn)D的坐標(biāo)；連接OD，過點(diǎn)C作CM⊥OD于點(diǎn)M，延長MC交圓C于點(diǎn)E，連接EO、ED，通過垂徑定理、解直角三角形求出線段EM的長，再結(jié)合三角形的面積公式即可求出S△DOE的值，由點(diǎn)C、M點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線CM的解析式，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，此題得解．

試題解析：（1）1.5﹣1.5=0，1.5+1.5=3，

∴點(diǎn)（0，0）、（0，3）到點(diǎn)C的距離為1.5，

∴點(diǎn)（0，0）、（0，3）為點(diǎn)C的好友．

（2）設(shè)圓心C往下運(yùn)動了t秒，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1.5﹣0.5t），

直線l：y=x﹣4可變形為4x﹣3y﹣12=0，

點(diǎn)C到直線l的距離d==|0.3t﹣3.3|，

當(dāng)直線受圓C影響時，有d≤1.5，即|0.3t﹣3.3|≤1.5，

解得：6≤t≤16．

∴在點(diǎn)C向下運(yùn)動的過程中，直線受其影響的時間為6≤t≤16．

（3）令y=x﹣4中y=0，則x﹣4=0，

解得：x=3，即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0）．

依照題意畫出圖形，如圖1所示．

∵拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)O和點(diǎn)A，點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（3，0），

∴拋物線的對稱軸為x==1.5，

∵點(diǎn)D恰好為點(diǎn)C的好友，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1.5，1.5）．

連接OD，過點(diǎn)C作CM⊥OD于點(diǎn)M，延長MC交圓C于點(diǎn)E，連接EO、ED，此時S△DOE最大，如圖2所示．

∵OD是圓C的弦，CM⊥OD，

∴點(diǎn)M為線段OD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）、OM==，

在Rt△CMO中，OM=，CO=1.5=，

∴CM==．

∵CE=1.5=，EM=EC+CM，

∴EM=，

此時S△DOE=ODEM=OMEM=×=．

設(shè)直線CM的解析式為y=mx+n，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1.5）、點(diǎn)M的坐標(biāo)為（， ）即（0.75，0.75），

∴，解得： ，

∴直線CM的解析式為y=﹣x+1.5．

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，﹣x+1.5）（x＜0），

∵EC==1.5，

∴x=﹣，或x=（舍去），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣， ）．

故當(dāng)△DOE面積最大時，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣， ），此時△DOE的面積是．