Question

如圖1，OA=2，OB=4，以A點為頂點、AB為腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C點的坐標；

（2）如圖2，P為y軸負半軸上一個動點，當P點向y軸負半軸向下運動時，以P為頂點，PA為腰作等腰Rt△APD，過D作DE⊥x軸于E點，求OP-DE的值；

（3）如圖3，已知點F坐標為（-2，-2），當G在y軸的負半軸上沿負方向運動時，作Rt△FGH，始終保持∠GFH=90°，FG與y軸負半軸交于點G（0，m），FH與x軸正半軸交于點H（n，0），當G點在y軸的負半軸上沿負方向運動時，以下兩個結論：①m-n為定值；②m+n為定值，其中只有一個結論是正確的，請找出正確的結論，并求出其值．

Answer 1

解：（1）過C作CM⊥x軸于M點，如圖1，
∵CM⊥OA，AC⊥AB，
∴∠MAC+∠OAB=90°，∠OAB+∠OBA=90°
則∠MAC=∠OBA
在△MAC和△OBA中
則△MAC≌△OBA（AAS）
則CM=OA=2，MA=OB=4，則點C的坐標為（-6，-2）；

（2）過D作DQ⊥OP于Q點，如圖2，則OP-DE=PQ，∠APO+∠QPD=90°
∠APO+∠OAP=90°，則∠QPD=∠OAP，
在△AOP和△PDQ中
則△AOP≌△PDQ（AAS）
∴OP-DE=PQ=OA=2；

（3）結論②是正確的，m+n=-4，
如圖3，過點F分別作FS⊥x軸于S點，FT⊥y軸于T點，
則FS=FT=2，∠FHS=∠HFT=∠FGT，
在△FSH和△FTG中
則△FSH≌△FTG（AAS）
則GT=HS，
又∵G（0，m），H（n，0），點F坐標為（-2，-2），
∴OT═OS=2，OG=|m|=-m，OH=n，
∴GT=OG-OT=-m-2，HS=OH+OS=n+2，
則-2-m=n+2，
則m+n=-4．
分析：（1）要求點C的坐標，則求C的橫坐標與縱坐標，因為AC=AB，則作CM⊥x軸，即求CM和AM的值，容易得△MAC≌△OBA，根據已知即可求得C點的值；
（2）求OP-DE的值則將其放在同一直線上，過D作DQ⊥OP于Q點，即是求PQ的值，由圖易求得△AOP≌△PDQ（AAS），即可求得PQ的長；
（3）利用（2）的結論，可知m+n為定長是正確的，過F分別作x軸和y軸的垂線，類似（2），即可求得m+n的值．
點評：本題考查了三角形全等的判定和性質；熟記三角形全等的求法，尤其是Rt△，數形結合是重要的解題方法，同學們一定要學會應用．