Question

【題目】如圖，一條高速公路在城市A的東偏北30°方向直線延伸，縣城M在城市A東偏北60°方向上，測(cè)驗(yàn)員從A沿高速公路前行4000米到達(dá)C，測(cè)得縣城M位于C的北偏西60°方向上，現(xiàn)要設(shè)計(jì)一條從縣城M進(jìn)入高速公路的路線，請(qǐng)?jiān)诟咚俟�路上尋找連接點(diǎn)N，使修建到縣城M的道路最短，試確定N點(diǎn)的位置并求出最短路線長(zhǎng)．（結(jié)果取整數(shù)，≈1.732）

Answer 1

【答案】解：如圖，過(guò)M作MN⊥AC交于N點(diǎn)，即MN最短，
∵∠EAD=60°，∠CAD=30°，
∴∠CAM=30°，
∴∠AMN=60°，
又∵C處看M點(diǎn)為北偏西60°，
∴∠FCM=60°，
∴∠MCB=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠CAD=30°，
∴∠BCA=30°，
∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°，
∴在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°，
∴MC=AC=2000，∠CMN=30°，
∴NC=MC=1000，
∵AC=4000米，
∴AN=AC﹣NC=4000﹣1000=3000（米）．
答：點(diǎn)N到A市最短路線3000米．

【解析】過(guò)M作MN⊥AC交于N點(diǎn)，即MN最短，根據(jù)方向角可以證得∠AMC=90°，根據(jù)三角函數(shù)即可求得MC，進(jìn)而求得AN的長(zhǎng)．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解解直角三角形的相關(guān)知識(shí)，掌握解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．