Question

如圖，已知等邊△ABC，以BC為直徑作半⊙O交AB于D，DE⊥AC于點E．
（1）求證：DE是半⊙O的切線；
（2）若DE=

3

，求△ABC與半⊙O重合部分的面積．

Answer 1

（1）證明：連接OD，CD，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=BC，
∵BC為圓O的直徑，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∴D為AB的中點，
又O為BC的中點，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
則DE與圓O相切；

（2）連接BF，OF，由（1）同理得到OF∥AB，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠FOC=∠DOB=60°，
∴∠DOF=60°，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，
∵D為AB的中點，
∴E為AF中點，即DE為△ABF的中位線，
∴BF=2DE=2

3

，
在Rt△BCF中，∠CBF=30°，
設CF=x，則BC=2x，
根據(jù)勾股定理得：（2

3

）²+x²=（2x）²，
解得：x=2，
∴等邊△BOD和△COF邊長都為2，半圓半徑為2，
則△ABC與半圓O重合部分的面積S=2S_△BOD+S_扇形DOF=2×

3

4

×4+

60π×22

360

=2

3

+

2π

3

．