Question

如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，點E、F、G分別在邊AB、BC、CD上，四邊形AEFG是平行四邊形，AE=GC．
（1）求證：AB=DC；
（2）當∠FGC=2∠1時，試判斷四邊形AEFG的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用平行線的性質和判定以及平行四邊形的性質得出，∠GFC=∠C，進而得出∠B=∠C即可得出答案；
（2）利用已知得出∠CGH=∠1，進而得出∠1+∠B=90°，求出∠BEF=90°，即∠AEF=90°，利用矩形的判定得出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形AEFG是平行四邊形，
∴AE∥GF，AE=GF．
∴∠GFC=∠B．
∵AE=GC，AE=GF，∴GF=GC，∴∠GFC=∠C．
∴∠B=∠C．
∴AB=DC．

（2）解：四邊形AEFG是矩形．
理由：作GH⊥BC于點H．
∵GF=GC，∴∠FGC=2∠CGH，
又∵∠FGC=2∠1，∴∠CGH=∠1，
∴∠CGH+∠C=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∴∠BEF=90°，∴∠AEF=90°，
∴平行邊形AEFG是矩形．

點評：此題主要考查了平行四邊形的性質與矩形的判定定理和平行線的性質等知識，根據(jù)已知得出∠1+∠B=90°是解題關鍵．