Question

（2012•六合區(qū)一模）已知，點(diǎn)P（x，y）在第一象限，且x+y=12，點(diǎn)A（10，0）在x軸上，設(shè)△OPA的面積為S．
（1）求S關(guān)于x的關(guān)系式，并確定x的取值范圍；
（2）當(dāng)△OPA為直角三角形時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）畫出圖形，表示出OA和PB的長，建立關(guān)于x的三角形面積的表達(dá)式，即為一次函數(shù)表達(dá)式；
（2）分情況討論：①若O為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)P在y軸上，不合題意舍去； ②若A為直角頂點(diǎn)，則PA⊥x軸，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為10，代入y=-x+12中，得y=2，求出點(diǎn)P坐標(biāo)為（10，2）；③若P為直角頂點(diǎn)，可得△OPB∽△PAB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出P點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由 x+y=12得，y=-x+12．
即P（x，y）在y=-x+12的函數(shù)圖象上，且在第一象限，
過點(diǎn)P作PB⊥x軸，垂足為B．
則 S_△OPA=

1

2

OA•PB=

1

2

•10•(-x+12)=-5x+60，且0＜x＜12；
（2）分情況討論：
①若O為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)P在y軸上，不合題意舍去； 
②若A為直角頂點(diǎn)，則PA⊥x軸，所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為10，代入y=-x+12中，得y=2，
所以點(diǎn)P坐標(biāo)（10，2）；
③若P為直角頂點(diǎn)，可得△OPB∽△PAB．
∴

OB

PB

=

PB

AB

．
∴PB²=OB•AB．
∴（-x+12）²=x（10-x）．
解得

x

1

=8， x2=9．
∴點(diǎn)P坐標(biāo)（8，4）或（9，3）．
∴當(dāng)△OPA為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，2）或（8，4）或（9，3）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積公式以及懂得直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．