Question

【題目】（方法提煉）

解答幾何問題常常需要添輔助線，其中平移圖形是重要的添輔助線策略．

（問題情境）

如圖1，在正方形ABCD中，E，F，G分別是BC，AB，CD上的點，FG⊥AE于點Q．求證：AE＝FG．

小明在分析解題思路時想到了兩種平移法：

方法1：平移線段FG使點F與點B重合，構(gòu)造全等三角形；

方法2：平移線段BC使點B與點F重合，構(gòu)造全等三角形；

（嘗試應(yīng)用）

（1）請按照小明的思路，選擇其中一種方法進(jìn)行證明；

（2）如圖2，正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D為格點，AB交CD于點O．求tan∠AOC的值；

（3）如圖3，點P是線段AB上的動點，分別以AP，BP為邊在AB的同側(cè)作正方形APCD與正方形PBEF，連結(jié)DE分別交線段BC，PC于點M，N．

①求∠DMC的度數(shù)；

②連結(jié)AC交DE于點H，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）①∠DMC＝45°；②．

【解析】

（1）①平移線段FG至BH交AE于點K，證明四邊形BFGH是平行四邊形，得出BH＝FG，由ASA證得△ABE≌△CBH，即可得出結(jié)論；

②平移線段BC至FH交AE于點K，則四邊形BCHF是矩形，由ASA證得△ABE≌△FHG，即可得出結(jié)論；

（2）將線段AB向右平移至FD處，使得點B與點D重合，連接CF，設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為單位1，由勾股定理求得CF＝，CD＝2，DF＝5，得出CF2＋CD2＝DF2，則∠FCD＝90°，由tan∠AOC＝tan∠FDC＝即可得出結(jié)果；

（3）①平移線段BC至DG處，連接GE，由SAS證得△AGD≌△BEG，得出DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，證明∠EGD＝90°，得出∠GDE＝∠GED＝45°，即可得出結(jié)果；

②證明△ADH∽△ACB，得出＝＝．

（1）①平移線段FG至BH交AE于點K，如圖1﹣1所示：

由平移的性質(zhì)得：FG//BH，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB//CD，AB＝BC，∠ABE＝∠C＝90°，

∴四邊形BFGH是平行四邊形，

∴BH＝FG，

∵FG⊥AE，

∴BH⊥AE，

∴∠BKE＝90°，

∴∠KBE+∠BEK＝90°，

∵∠BEK+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠CBH，

在△ABE和△CBH中，，

∴△ABE≌△CBH（ASA），

∴AE＝BH，

∴AE＝FG；

②平移線段BC至FH交AE于點K，如圖1﹣2所示：

則四邊形BCHF是矩形，∠AKF＝∠AEB，

∴FH＝BC，∠FHG＝90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠ABE＝90°，

∴AB＝FH，∠ABE＝∠FHG，

∵FG⊥AE，

∴∠HFG+∠AKF＝90°，

∵∠AEB+∠BAE＝90°，

∴∠BAE＝∠HFG，

在△ABE和△FHG中，，

∴△ABE≌△FHG（ASA），

∴AE＝FG；

（2）將線段AB向右平移至FD處，使得點B與點D重合，連接CF，如圖2所示：

∴∠AOC＝∠FDC，

設(shè)正方形網(wǎng)格的邊長為單位1，

則AC＝2，AF＝1，CE＝2，DE＝4，FG＝3，DG＝4，

根據(jù)勾股定理可得：CF＝＝＝，CD＝＝＝2，DF＝＝＝5，

∵（）2+（2）2＝52，

∴CF2+CD2＝DF2，

∴∠FCD＝90°，

∴tan∠AOC＝tan∠FDC＝＝＝；

（3）①平移線段BC至DG處，連接GE，如圖3﹣1所示：

則∠DMC＝∠GDE，四邊形DGBC是平行四邊形，

∴DC＝GB，

∵四邊形ADCP與四邊形PBEF都是正方形，

∴DC＝AD＝AP，BP＝BE，∠DAG＝∠GBE＝90°

∴DC＝AD＝AP＝GB，

∴AG＝BP＝BE，

在△AGD和△BEG中，，

∴△AGD≌△BEG（SAS），

∴DG＝EG，∠ADG＝∠EGB，

∴∠EGB+∠AGD＝∠ADG+∠AGD＝90°，

∴∠EGD＝90°，

∴∠GDE＝∠GED＝45°，

∴∠DMC＝∠GDE＝45°；

②如圖3﹣2所示：

∵AC為正方形ADCP的對角線，

∴∠DAC＝∠PAC＝∠DMC＝45°，

∴AC＝AD，

∵∠HCM＝∠BCA，

∴∠AHD＝∠CHM＝∠ABC，

∴△ADH∽△ACB，

∴＝＝＝．