Question

如圖，⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，AB與⊙O切于點(diǎn)D，AC與⊙O切于點(diǎn)E，BO與DE交于點(diǎn)X，CO與DE交于點(diǎn)Y，點(diǎn)Z是BC的中點(diǎn)．
（1）求證：O、E、X、C四點(diǎn)共圓；
（2）若∠A=60°，求證：△XYZ是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合圖形，發(fā)現(xiàn)：只要能夠證明∠EXO=∠ECO即可．根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的內(nèi)心的定義即可證明；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)，得XE⊥AC．根據(jù)（1）中的四點(diǎn)共圓，得∠OXC=∠OEC=90°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得XZ=BZ；進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角和∠ABX=∠CBX，所以得∠ABX=∠BXZ，則XZ∥AB，所以得∠YXZ=∠ADE；根據(jù)切線長(zhǎng)定理知AD=AE，則三角形ADE是等邊三角形，則∠ADE=60°．同理∠ZYX=∠AED=60°．則可知三角形XYZ是等邊三角形．

解答：證明：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)心是三角形的角平分線的交點(diǎn)以及三角形的內(nèi)角和定理，得
∠ECO=

1

2

∠ACB，
設(shè)BX與AC的交點(diǎn)是F，則
∠EXO=180°-∠AED-∠EFX=180°-

1

2

（180°-∠A）-180°+

1

2

∠ABC+∠ACB=

1

2

∠ACB，
∴O、E、X、C四點(diǎn)共圓；

（2）證明：連接XC，由切線長(zhǎng)定理得：AE=AD，
∵∠A=60°，
∴△ADE是等邊三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∵由（1）得∠BXC=∠OEC=90°，XZ=BZ，
∴∠ZBX=∠ZXB=∠ABX，
∴XZ∥AB，
∴∠YXZ=∠ADE=60°，
同理YZ∥AC，則∠ZYX=∠AED=60°，
所以△XYZ是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：綜合運(yùn)用了切線長(zhǎng)定理、三角形的內(nèi)心的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的判定和性質(zhì)．