Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于不同的兩個點A（x1，0）和點B（x2，0）與y軸的正半軸交于點C，如果x1，x2是方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根（x1＜x2），且圖象經(jīng)過點（2，3）

（1）求拋物線的解析式并畫出圖象

（2）x在什么范圍內(nèi)函數(shù)值y大于3且隨x的增大而增大．

（3）設（1）中的拋物線頂點為D，在y軸上是否存在點P，使得DP+BP的和最��？若存在，求出這個最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3，（2）0＜x＜1；（3）P點坐標為（0，3）．

【解析】試題分析: （1）根據(jù)二次函數(shù)與一元二次方程的關系可知，方程 的兩個根即為函數(shù)與軸的交點橫坐標，利用待定系數(shù)法列出函數(shù)解析式，將代入解析式，求出系數(shù)即可，根據(jù)函數(shù)解析式求出函數(shù)圖象的頂點坐標，再求出與坐標軸的交點坐標即可畫出函數(shù)圖象．
（2）根據(jù)圖象直接解答即可．
（3）作關于軸的對稱點則坐標為 連接，設的解析式為求出函數(shù)解析式，與軸交點坐標即為點坐標．

試題解析：（1）設函數(shù)解析式為

把點（2，3）代入得，

解得

故函數(shù)解析式為

當時，

解得

故函數(shù)與x軸的交點坐標為和點

當時， ，函數(shù)與軸的交點為

又因為函數(shù)圖象對稱軸為

將代入解析式得，

則函數(shù)頂點坐標為 如圖：

（2）由圖可知， 時， 大于3且隨的增大而增大．

（3）作關于軸的對稱點則坐標為連接，

設的解析式為

將（1，4），（﹣3，0）分別代入解析式得，

解得

則函數(shù)解析式為

當時，

則P點坐標為（0，3）．