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        1. 如圖,已知正方形ABCD的邊長為4cm,動點P從點B出發(fā),以2cm/s的速度、沿B→C→D方向,向點D運(yùn)動;動點Q從點A出發(fā),以1cm/s的速度、沿A→B方向,向點B運(yùn)動.若P、Q兩點同時出發(fā),運(yùn)動時間為t秒.
          (1)連接PD、PQ、DQ,設(shè)△PQD的面積為S,試求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
          (2)當(dāng)點P在BC上運(yùn)動時,是否存在這樣的t,使得△PQD是等腰三角形?若存在,請求出符合條件的t的值;若不存在,請說明理由;
          (3)以點P為圓心,作⊙P,使得⊙P與對角線BD相切.問:當(dāng)點P在CD上運(yùn)動時,是否存在這樣的t,使得⊙P恰好經(jīng)過正方形ABCD的某一邊的中點若存在,請求出符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.

          解:(1)當(dāng)0≤t≤2時,即點P在BC上時,
          S=S正方形ABCD-S△ADQ-S△BPQ-S△PCD=16-•4•t-•2t•(4-t)-•(4-2t)•4=t2-2t+8,
          當(dāng)2<t≤4時,即點P在CD上時,DP=8-2t,
          S=•(8-2t)•4=16-4t.


          (2)①若PD=QD,則Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL).
          ∴CP=AQ.即t=4-2t,解得t=
          ②若PD=PQ,則PD2=PQ2,即42+(4-2t)2=(4-t)2+(2t)2
          解得t=-4±4,其中t=-4-4<0不合題意,舍去,∴t=-4+4
          ③若QD=PQ,則QD2=PQ2,即16+t2=(4-t)2+(2t)2,解得t=0或t=2,
          ∴t=或t=-4+4或t=0或t=2時,△PQD是等腰三角形.

          (3)當(dāng)P在CD上運(yùn)動時,若⊙P經(jīng)過BC的中點E,設(shè)⊙P切BD于M.
          則CP=2t-4,PM2=PE2=(2t-4)2+22
          而在Rt△PMD中,由于∠PDM=45°,所以DP=PM,即DP2=2PM2
          ∴(8-2t)2=2[(2t-4)2+22].
          解得t=±,負(fù)值舍去,
          ∴t=,
          若⊙P經(jīng)過CD的中點,⊙P的半徑r=2(-1),
          故t=2+,
          故當(dāng)點P在CD上運(yùn)動時,若t=或2+,則⊙P恰好經(jīng)過正方形ABCD的某一邊的中點.
          分析:(1)可根據(jù)三角形PQD的面積=梯形ABPD的面積-三角形AQD的面積-三角形BPQ的面積來求解,根據(jù)P,Q的速度,可以表示出AQ、BQ、BP,那么就能表示出兩直角三角形的直角邊以及梯形的兩底和高,可根據(jù)各自的面積計算公式得出S、t之間的函數(shù)關(guān)系式.
          (2)要分三種情況進(jìn)行討論:
          當(dāng)PD=QD時,根據(jù)斜邊直角邊定理,我們可得出三角形AQD和CPD全等,那么可得出CP=AQ,可用時間t分別表示出AQ、CP的長,然后可根據(jù)兩者的等量關(guān)系求出t的值.
          當(dāng)PD=PQ時,可在直角三角形BPQ和PDC中,根據(jù)勾股定理,用BQ、BP表示出PQ,用CP、CD表示出PD;BQ、BP、PC都可以用t來表示,由此可得出關(guān)于t的方程,解方程即可得出t的值.
          當(dāng)QD=PQ時,方法同上.
          (3)應(yīng)當(dāng)考慮兩種情況:
          ①圓心P經(jīng)過BC的中點,如果設(shè)圓與BD相切于M,BC的中點是E,那么PM=PE,可用時間t表示出CP的長,也就能表示出DP的長,那么可以根據(jù)勾股定理在直角三角形CEP中表示出PE2的長,也就表示出了PM2的長,然后根據(jù)∠MDP的正弦值表示出DP,PM的關(guān)系,由此可得出關(guān)于t的方程,進(jìn)而求出t的值.
          ②圓心P經(jīng)過CD的中點,如過CD的中點是E,那么PM=PE,在直角三角形DMP中,DP=2-半徑的長,PM=半徑的長,因此可根據(jù)∠MDP的正弦函數(shù)求出半徑的長,然后用t表示出CP,即可求出t的值.
          點評:本題主要考查了正方形的性質(zhì),全等三角形的判定,切線的性質(zhì)等知識點.要注意(2)(3)中不同的情況要進(jìn)行分類討論,不要丟掉任何一種情況.
          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求證:DP平分∠ADC;
          (2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面積.

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          (2)若正方形的邊長為2a,當(dāng)CE=
          a
          a
          時,S△FGE=S△FBE;當(dāng)CE=
          2a+
          2
          a
          2
          或EC=
          2a-
          2
          a
          2
          2a+
          2
          a
          2
          或EC=
          2a-
          2
          a
          2
           時,S△FGE=3S△FBE

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