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        1. (2013•北碚區(qū)模擬)如圖,已知正方形ABCD,點(diǎn)E是BC上一點(diǎn),點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn),連接EF,若BE=DF,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn).
          (1)求證:DP平分∠ADC;
          (2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面積.
          分析:(1)連接PC.根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得PC=
          1
          2
          EF=PA.運(yùn)用“SSS”證明△APD≌△CPD,得∠ADP=∠CDP;
          (2)作PH⊥CF于H點(diǎn).分別求DF和PH的長,再計(jì)算面積.設(shè)DF=x,在Rt△EFC中,∠CEF=60°,運(yùn)用勾股定理可求DF;根據(jù)三角形中位線定理求PH.
          解答:(1)證明:連接PC.
          ∵ABCD是正方形,
          ∴∠ABE=∠ADF=90°,AB=AD.
          ∵BE=DF,
          ∴△ABE≌△ADF(SAS),
          ∴∠BAE=∠DAF,AE=AF.
          ∴∠EAF=∠BAD=90°.
          ∵P是EF的中點(diǎn),
          ∴PA=
          1
          2
          EF,PC=
          1
          2
          EF,
          ∴PA=PC.
          又∵AD=CD,PD=PD(公共邊),
          ∴△PAD≌△PCD,(SSS)
          ∴∠ADP=∠CDP,即DP平分∠ADC;

          (2)作PH⊥CF于H點(diǎn).
          ∵P是EF的中點(diǎn),
          ∴PH=
          1
          2
          EC.
          設(shè)EC=x.
          由(1)知△EAF是等腰直角三角形,
          ∴∠AEF=45°,
          ∴∠FEC=180°-45°-75°=60°,
          ∴EF=2x,F(xiàn)C=
          3
          x,BE=2-x.
          在Rt△ABE中,22+(2-x)2=(
          2
          x)2,即x2+4x-8=0,
          解得 x1=-2-2
          3
          (舍去),x2=-2+2
          3

          ∴PH=-1+
          3
          ,F(xiàn)D=
          3
          (-2+2
          3
          )-2=-2
          3
          +4.
          ∴S△DPF=
          1
          2
          (-2
          3
          +4)×(-1+
          3
          )
          =3
          3
          -5.
          點(diǎn)評:此題考查正方形、特殊直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn),綜合性強(qiáng),難度較大.
          練習(xí)冊系列答案
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          1
          2
          )-1
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          (1)本次被調(diào)查的學(xué)生共有
          50
          50
          人;在被調(diào)查者中“基本了解”的有
          10
          10
          人.
          (2)將扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
          (3)在“非常了解”的調(diào)查結(jié)果里,初三年級學(xué)生共有4人,其中3男1女,在這4人中,打算隨機(jī)選出2位進(jìn)行采訪,請你用列表法或樹狀圖的方法求出所選兩位同學(xué)恰好都是男同學(xué)的概率?

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          A.
          B.
          C.
          D.

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