Question

（2013•北碚區(qū)模擬）如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．
（1）求證：DP平分∠ADC；
（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．

Answer 1

分析：（1）連接PC．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得PC=

1

2

EF=PA．運(yùn)用“SSS”證明△APD≌△CPD，得∠ADP=∠CDP；
（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．分別求DF和PH的長，再計(jì)算面積．設(shè)DF=x，在Rt△EFC中，∠CEF=60°，運(yùn)用勾股定理可求DF；根據(jù)三角形中位線定理求PH．

解答：（1）證明：連接PC．
∵ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．
∴∠EAF=∠BAD=90°．
∵P是EF的中點(diǎn)，
∴PA=

1

2

EF，PC=

1

2

EF，
∴PA=PC．
又∵AD=CD，PD=PD（公共邊），
∴△PAD≌△PCD，（SSS）
∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．
∵P是EF的中點(diǎn)，
∴PH=

1

2

EC．
設(shè)EC=x．
由（1）知△EAF是等腰直角三角形，
∴∠AEF=45°，
∴∠FEC=180°-45°-75°=60°，
∴EF=2x，F(xiàn)C=

3

x，BE=2-x．
在Rt△ABE中，2²+（2-x）²=（

2

x）²，即x²+4x-8=0，
解得 x₁=-2-2

3

（舍去），x₂=-2+2

3

．
∴PH=-1+

3

，F(xiàn)D=

3

（-2+2

3

）-2=-2

3

+4．
∴S_△DPF=

1

2

（-2

3

+4）×(-1+

3

)=3

3

-5．

點(diǎn)評(píng)：此題考查正方形、特殊直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．