Question

如圖，直線y=2x-4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，以x軸上點(diǎn)M為圓心，過A、B兩點(diǎn)作⊙M與x軸交于另一點(diǎn)C．
（1）求⊙M的半徑及圓心M的坐標(biāo)；
（2）①求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②求證：DB是⊙M的切線；
（3）若半徑為1的⊙P與x軸和直線BD都相切，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，連接BC可得AC是⊙O直徑，進(jìn)而可得OB²=OA•OC，進(jìn)而可得圓心的坐標(biāo)與半徑的大小；
（2）設(shè)出其解析式，并用三點(diǎn)式求拋物線解析可得答案；
（3）根據(jù)題意，半徑為1的⊙P與x軸相切，故P的縱坐標(biāo)的絕對值為1，即為±1，將其值代入拋物線解析式，即可得到其橫坐標(biāo)，綜合可以寫出P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）y=2x-4與x軸交于點(diǎn)A（2，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，-4）．（1分）
解法（一）：連接BC，
∵AC是⊙O直徑，
∴∠ABC=90°OB⊥AC．
∴OB²=OA•OC．
即4²=2OC．
∴OC=8．
∴直徑AC=8+2=10．
∴半徑R=5，圓心M坐標(biāo)（-3，0）．（3分）
解法（二）：連接MB，易知MB²=MO²+BO²
即R²=（R-2）²+4²，
∴R=5．
∴圓心M坐標(biāo)為（-5，0）．
解法（三）：M點(diǎn)是AB的中垂線與x軸的交點(diǎn)，
AB：y=2x-4故可設(shè)中垂線y=-

1

2

x+b過AB中點(diǎn)（1，-2），
故y=-

1

2

x-

3

2

．
∴圓心M坐標(biāo)為（-5，0）
∴半徑R=3+2=5．
（解法（二）、（三）參考給分）

（2）①設(shè)過A（2，0），B（0，-4），C（-8，0）的解析式為y=a（x-2）（x+8），
∴-4=a（0-2）（0+8）．
∴a=

1

4

．
∴y=

1

4

（x-2）（x+8）=

1

4

x²+

3

2

x-4（5分）
=

1

4

（x+3）²-

25

4

．（6分）
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-3，-

25

4

）．（7分）
（用三點(diǎn)式求拋物線解析式參考給分）
②解法（一）：
連MD、MBl則MD2=(

25

4

)2=

625

16

&MB2+BD2=52+(

25

4

-4)2+32=

625

16

，
∴MD²=MB²+BD²
∴∠MBD=90°．
∴BD是⊙M的切線．（8分）
解法（二）：直線MB過點(diǎn)M（-3，0）、B（0，-4），
∴y=-

4

3

x-4．
直線BD過點(diǎn)D（-3，-

25

4

）、B（0，-4）
∴y=

3

4

x-4．
∵k₁k₂=-

4

3

×

3

4

=-1，
∴直線MB與DB垂直．
∴BD是⊙M的切線．
（其它解法參考給分）

（3）P₁（

25

3

，1）、P₂（

17

3

，-1）、P₃（

7

3

，-1）、P₄（5，1）（12分）
（寫一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)給1分）．

點(diǎn)評：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問題、解決問題的能力．