Question

如圖①，在Rt△ABC中，已知∠A=90°，AB=AC，G、F分別是AB、AC上的兩點(diǎn)，且GF∥BC，AF=2，BG=4。

（1）求梯形BCFG的面積；

（2）有一梯形DEFG與梯形BCFG重合，固定△ABC，將梯形DEFG向右運(yùn)動，直到點(diǎn)D與點(diǎn)C重合為止，如圖②.

 ①若某時(shí)段運(yùn)動后形成的四邊形BDG'G中，DG⊥BG'，求運(yùn)動路程BD的長，并求此時(shí)的值；

②設(shè)運(yùn)動中BD的長度為x，試用含x的代數(shù)式表示出梯形DEFG與Rt△ABC重合部分的面積S。

 

 

Answer 1

【答案】

(1)16（2）①32+②

【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°．又∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠AFG=45°．∴AG＝AF＝2，AB＝AC＝6．    ……2分

    ∴．   ……2分

    (2)①∵在運(yùn)動過程中有DG′∥BG且DG′＝BG，∴BDG′G是平行四邊形．

    當(dāng)DG⊥BG′時(shí)，BDG′G是菱形．∴BD＝BG＝4．    ……2分

    如圖③，當(dāng)BDG′G為菱形時(shí)，過點(diǎn)G′作G′M⊥BC于點(diǎn)M．

    在Rt△G′DM中，∠G′DM＝45°，DG′＝4，∴DM＝G′M且．

    ∴DM=G′M=，∴BM=．連接G′B．

在Rt△G′BM中，．……2分

    ②當(dāng)o≤x≤時(shí)，其重合部分為梯形，如圖②．

    在Rt△AGF與Rt△ABC中，,．過G點(diǎn)作GH垂直BC于點(diǎn)H，得GH=．

    由①，知BD=GG′=x，DC=,．

    ∴．……1分

      當(dāng)≤x≤時(shí)，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③．

    ∵斜邊DC＝，斜邊上的高為，

   ∴．……1分

（1）在Rt△ABC中由AB=AC得到∠ABC=∠ACB=45°．又由GF∥BC得到∠AGF=∠AFG=45°，由此得到AG=AF=2，AB=AC=6，而S_梯形GBCF=S_△ABC-S_△AGF，所以梯形的面積就可以求出了；

（2）①根據(jù)運(yùn)動過程知道BDG′G是平行四邊形，又DG⊥BG′，所以BDG′G是菱形，由此得到BD=BG=4，如圖③過點(diǎn)G′作G′M⊥BC于點(diǎn)M，在Rt△G′DM中，∠G′DM=45°，DG′=4可以得到DM=G′M且DM²+G'M²=DG'²，求出DM=G'M= ，接著得到BM=4+ ，然后在Rt△G′BM中，根據(jù)勾股定理可以求出BG'²；②當(dāng)o≤x≤時(shí)，其重合部分為梯形，如圖②．在Rt△AGF與Rt△ABC中分別求出GF，BC，過G點(diǎn)作GH垂直BC于點(diǎn)H，得GH= ，由①知BD=GG′=x，DC= -x，G'F'= -x，現(xiàn)在就可以用x表示S了．當(dāng)≤x≤

時(shí)，其重合部分為等腰直角三角形，如圖③．斜邊DC= -x，斜邊上的高為 (-x)，現(xiàn)在也可以用x表示s了．