Question

（1）如圖1，在△ABC中，點D、E、Q分別在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P，求證：

DP

BQ

=

PE

QC

；
（2）如圖，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點．
①如圖2，若AB=AC=1，直接寫出MN的長；
②如圖3，求證：MN²=DM•EN．

Answer 1

分析：（1）可證明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，從而得出

DP

BQ

=

PE

QC

；
（2）①根據(jù)三角形的面積公式求出BC邊上的高

2

2

，根據(jù)△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的邊長

2

3

，根據(jù)

MN

GF

等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，則DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF²=CF•BG，再根據(jù)（1）

DM

BG

=

MN

BF

=

EN

FC

，從而得出答案．

解答：（1）證明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴

DP

BQ

=

AP

AQ

，
同理在△ACQ和△APE中，

EP

CQ

=

AP

AQ

，
∴

DP

BQ

=

PE

QC

．

（2）①作AQ⊥BC于點Q．
∵BC邊上的高AQ=

2

2

，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=

1

3

，DE=

2

3

，
∵DE邊上的高為

2

6

，MN：GF=

2

6

：

2

2

，
∴MN：

2

3

=

2

6

：

2

2

，
∴MN=

2

9

．
故答案為：

2

9

．

②證明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴

DG

CF

=

BG

EF

，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF²=CF•BG，
由（1）得

DM

BG

=

MN

GF

=

EN

FC

，
∴

MN

GF

×

MN

GF

=

DM

BG

•

EN

CF

，
∴（

MN

GF

）²=

DM

BG

•

EN

CF

，
∵GF²=CF•BG，
∴MN²=DM•EN．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，是一道綜合題目，難度較大．