Question

問題背景: 如圖（a），點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，要在直線l上找一點(diǎn)C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′與直線l交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．

實踐運(yùn)用： 如圖(b)，已知，⊙O的直徑CD為4，點(diǎn)A 在⊙O 上，∠ACD = 30°，B 為弧AD 的中點(diǎn)，P為直徑CD上一動點(diǎn)，求：PA+ PB的最小值，并寫出解答過程．

知識拓展：如圖(c)，在菱形ABCD中，AB = 10，∠DAB= 60°，P是對角線AC上一動點(diǎn)，E、F分別是線段AB和BC上的動點(diǎn)，則PE +PF的最小值是      ．（直接寫出答案）

 

 

Answer 1

【答案】

實踐運(yùn)用：； 知識拓展：.

【解析】

試題分析：實踐運(yùn)用：找點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)，再連接其中一點(diǎn)的對稱點(diǎn)和另一點(diǎn)，和MN的交點(diǎn)P就是所求作的位置，根據(jù)題意先求出∠C′AE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；知識拓展：當(dāng)點(diǎn)E（E′）關(guān)于AC對稱點(diǎn)E″與P、F（F′）三點(diǎn)共線且與AD垂直時，易求E″F（F′）的長為.

試題解析：實踐運(yùn)用：如圖作點(diǎn)B關(guān)于CD的對稱點(diǎn)E，連接AE交CD于點(diǎn)P，此時PA+PB最小，且等于A。作直徑AC′，連接C′E，

 根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DE.

∵∠ACD=30°，∴∠AOD=60°，∠DOE=30°. ∴∠AOE=90°. ∴∠C′AE=45°.

又AC為圓的直徑，∴∠AEC′=90°.

∴∠C′=∠C′AE=45°. ∴C′E=AE=AC′=.

∴AP+BP的最小值是.

知識拓展：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)E（E′）關(guān)于AC對稱點(diǎn)E″與P、F（F′）三點(diǎn)共線且與AD垂直時，PE+PF有最小值．

易證四邊形BME″F′為矩形，則BM=E″F′.

在Rt△ABM中，AB=10，∠BAD=60°，∴E″F=BM=AB•sin∠BAD=.

考點(diǎn)：1.軸對稱的應(yīng)用（最短路線問題）；2.圓周角定理；3.垂徑定理；4.等腰直角三角形的性質(zhì)；5. 菱形的性質(zhì)；6. 矩形的判定和性質(zhì)；7.銳角三角函數(shù)定義；8.特殊角的三角函數(shù)值.