Question

（2013•日照）問題背景：
如圖（a），點A、B在直線l的同側，要在直線l上找一點C，使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關于l的對稱點B′，連接A B′與直線l交于點C，則點C即為所求．

（1）實踐運用：
如圖（b），已知，⊙O的直徑CD為4，點A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 為弧AD 的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為

2

2

．
（2）知識拓展：
如圖（c），在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D，E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程．

Answer 1

分析：（1）找點A或點B關于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置．根據(jù)題意先求出∠C′AE，再根據(jù)勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值；
（2）首先在斜邊AC上截取AB′=AB，連結BB′，再過點B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結BE，則線段B′F的長即為所求．

解答：解：（1）作點B關于CD的對稱點E，連接AE交CD于點P
此時PA+PB最小，且等于AE．
作直徑AC′，連接C′E．
根據(jù)垂徑定理得弧BD=弧DE．
∵∠ACD=30°，
∴∠AOD=60°，∠DOE=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠C′AE=45°，
又AC′為圓的直徑，∴∠AEC′=90°，
∴∠C′=∠C′AE=45°，
∴C′E=AE=

2

2

AC′=2

2

，
即AP+BP的最小值是2

2

．
故答案為：2

2

；

（2）如圖，在斜邊AC上截取AB′=AB，連結BB′．
∵AD平分∠BAC，
∴點B與點B′關于直線AD對稱．
過點B′作B′F⊥AB，垂足為F，交AD于E，連結BE，
則線段B′F的長即為所求．（點到直線的距離最短）                                    
在Rt△AFB′中，∵∠BAC=45°，AB′=AB=10，
∴B′F=AB′•sin45°=AB•sin45°=10×

2

2

=5

2

，
∴BE+EF的最小值為5

2

．

點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑問題以及銳角三角函數(shù)關系等知識，根據(jù)已知得出對應點P位置是解題關鍵．