Question

對于正數(shù)x，規(guī)定f（x）=

x

1+x

，計算f（

1

100

）+f（

1

99

）+f（

1

98

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=

 

．

Answer 1

分析：通過計算f（1）+f（1）=1，f（2）+f（

1

2

）=1，f（3）+f（

1

3

）=1，…可以推出則f（

1

100

）+f（

1

99

）+…+f（1）+f（100）結(jié)果．

解答：解：∵f（1）=

1

1+1

=

1

2

，f（1）+f（1）=1，
f（2）=

2

1+2

=

2

3

，f（

1

2

）=

1 2

1+ 1 2

=

1

3

，f（2）+f（

1

2

）=1，
f（3）=

3

1+3

=

3

4

，f（

1

3

）=

1 3

1+ 1 3

=

1

4

，f（3）+f（

1

3

）=1，
…
f（100）=

1

1+100

=

1

101

，f（

1

100

）=

1 101

1+ 1 101

=

1

101

，f（100）+f（

1

101

）=1，
∴f（

1

100

）+f（

1

99

）+f（

1

98

）+…+f（

1

3

）+f（

1

2

）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（98）+f（99）+f（100）=100-

1

2

=99

1

2

故答案為：99

1

2

．

點評：本題的關(guān)鍵是理解好f（x）=

x

1+x

，同時對整理好的分式要注意觀察特點，能夠看出

1

101

+

100

101

=1，其他分式亦如此．本題若有常規(guī)方法，則較繁瑣，靈活應(yīng)用拆項法，則可化繁為簡，可見，打破習(xí)慣性思維，有利于提高解題能力．