Question

觀察下列式子

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

…根據(jù)上述規(guī)律計(jì)算：

a

1×2

+

a

2×3

+

a

3×4

+…+

a

2010×2011

，并求出當(dāng)a=2011時(shí)，上式的值．

Answer 1

分析：先由已知等式，得出規(guī)律：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，再將所求式子提取公因式a，變形為a（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

），然后利用得出的規(guī)律，化簡(jiǎn)括號(hào)內(nèi)的式子，最后將a=2011代入，計(jì)算即可求解．

解答：解：∵當(dāng)n=1時(shí)，

1

1×2

=1-

1

2

，
當(dāng)n=2時(shí)，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，
當(dāng)n=3時(shí)，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，
…
∴當(dāng)n=n時(shí)，

1

n(n-1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴

a

1×2

+

a

2×3

+

a

3×4

+…+

a

2010×2011

=a（

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2010×2011

）
=a（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2010

-

1

2011

）
=a（1-

1

2011

）
=

2010

2011

a，
當(dāng)a=2011時(shí)，原式=

2010

2011

×2011=2010．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類及有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題時(shí)首先觀察，分析歸納出題目中隱含的規(guī)律，然后利用規(guī)律把題目變形，從而使計(jì)算變得比較簡(jiǎn)便．